在计算极限的时候泰勒公式到底展开到第几项
在计算极限时，泰勒公式展开到第几项需要遵循“分子与分母的最低阶非零项同阶”原则。以下通过具体步骤和示例详细说明：
一、确定展开项数的核心原则
泰勒展开的目的是用多项式近似函数，展开的阶数需确保分子和分母的最低阶非零项（主部）同阶。具体步骤：
- 观察分母的阶数：分母是 xk 阶无穷小，则分子必须展开到至少 xk 项。
- 抵消后保留最低阶非零项：若分子展开后的前几项被抵消，需继续展开，直到出现第一个非零项。
- 余项可忽略：高阶余项（如 o(xk)）在求极限时趋于零，无需展开更高阶。
二、具体步骤与示例
步骤1：分析分母的阶数
- 示例1：求 limx→0x3sinx−x
分母为 x3，分子需展开到 x3 项。
步骤2：展开分子并抵消低阶项
- 展开 sinx：sinx=x−6x3+o(x3)
- 代入分子：sinx−x=(x−6x3)−x=−6x3+o(x3)此时分子的最低阶非零项为 x3，与分母同阶。
步骤3：计算极限
- 化简后：x→0limx3−6x3=−61.
三、特殊情况处理
情况1：分子展开后最低阶项高于分母
- 示例2：求 limx→0x4cosx−1+2x2
- 分母为 x4，需展开到 x4 项。
- cosx=1−2x2+24x4+o(x4)
- 分子化简为 24x4+o(x4)，极限为 241。
情况2：分子展开后最低阶项低于分母
- 示例3：求 limx→0x3ex−1−x
- 错误展开（仅到 x2）：分子为 2x2+o(x2)，极限为 ∞（错误）。
- 正确展开（到 x3）：分子为 2x2+6x3+o(x3)，实际最低阶项为 x2，但分母为 x3，极限为 ∞。
四、通用公式与总结
| 分母阶数 | 分子展开要求 | 极限结果 |
|---|---|---|
| xk | 展开到 xk 项 | 由主项系数决定 |
| xk | 展开不足（低于 k） | 可能错误（如 0 或 ∞） |
| xk | 展开超过 k 项 | 高阶余项可忽略 |
五、关键注意事项
-
必须抵消所有低阶项：
- 若分子展开后前 m 项抵消（m<k），需继续展开到 xk 项。
- 示例4：求 limx→0x3ex−1−x−2x2
- 展开到 x3：ex=1+x+2x2+6x3+o(x3)
- 分子为 6x3+o(x3)，极限为 61。
-
灵活选择展开方式：
- 若分子包含多个函数（如 sinx⋅cosx），需分别展开到足够高阶。
六、总结
泰勒展开的阶数由以下两点决定：
- 分母的阶数：必须展开到与分母同阶或更高。
- 分子抵消后的最低非零项：确保主部不被遗漏。
核心口诀：
“分母几阶，分子展开到几阶；抵消后找主部，高阶余项可忽略。”