第一章 函数与极限 7.无穷小的比较

无穷小的比较

在前面的学习中，我们将无穷小作为一个基本单位代入到了极限的运算中如一个函数可以用常数加无穷小所代替，且进一步提出了关于无穷小的运算准则，如有限个无穷小之和为无穷小，有限个无穷小之积为无穷小，无穷小乘有界函数为无穷小，无穷小乘常数为无穷小。并以这些为基础定义了极限的四则运算。但是我们没有定义无穷小的除法，所以这一节其实就是定义了无穷小的除法运算。

无穷小的除法

设 $\alpha$ 和 $\beta$ 都是同一个变量的同一变化过程中的无穷小，那么书里定义了所有的 $\beta /\alpha$ 的结果。

1. 如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$，那么 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记为 $\beta =o(\alpha )$；
2. 如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=\infty$，那么 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小；
3. 如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$，那么 $\beta$ 是与 $\alpha$ 同阶的无穷小；
4. 如果 $\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=c\ne 0,k>0$，那么 $\beta$ 是关于 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小；
5. 如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$，那么就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。

任意无穷小之间的除法都被包含在这五种情况之内。那么定义了无穷小的比较有什么意义呢？在求极限的过程中，我们往往可以将函数极限化为有限无穷小与常数之间的组合，对于分数型函数，上下都是无穷小的话，就可以利用无穷小之间的比较来将它们化为常数。

所以说定义无穷小之间的比较为我们拓宽了求极限的方法途径。

一个重要的等价无穷小

书中要求我们记住一个重要的等价无穷小的例子，即当 $x\to 0$ 时 $\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x$，即证 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{\frac{1}{n}x}=1$。

观察这个极限的结构，发现如果将 $\sqrt[n]{1+x}$ 乘上 $n$ 次幂后分子可以变成 $x$，所以我们可以得到一个替换 $x=(\sqrt[n]{1+x}{)}^n-1$。

我们令 $q=\sqrt[n]{1+x}$，则极限变成 $n{\lim }_{q\to 1}\frac{t-1}{t^n-1}$，其中 $\frac{t^n-1}{t-1}=\frac{1-t^n}{1-t}$ 恰好是等比数列的前 $n$ 项和公式，说明存在一个等比数列 {an}\{a_n\}{an​}，满足首项为 $1$，公比 $q=\sqrt[n]{1+x}$。而 $x\to 0$ 使得 $q\to 1$，公比趋于 $1$，此时 $S_n=n{a}_1=n$。

所以极限等价于 $n{\lim }_{q\to 1}\frac{1}{n}=1$。

定理一 等价无穷小的充要条件

$\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小的充要条件是 $\alpha =\beta +o(\beta )$。

这个证明是显而易见的，根据无穷小的除法，$ \frac{o(\beta)}{\beta}=0$，所以 $\frac{\alpha }{\beta }=\frac{\beta +o(\beta )}{\beta }=1+0=1$。

这个定理的意义十分重大，它表明任意一个有极限的无穷小都可以被表示为等价无穷小与更高阶无穷小的和。

而任意一个有极限的函数都可以表示为一个常数与无穷小的和，而无穷小的和又可以被代换为更高阶的无穷小，有种无限展开的雏形了。

定理二 等价无穷小的代换

设 $\alpha \sim \tilde{\alpha },\beta \sim \tilde{\beta }$，那么 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=\lim \frac{\tilde{\alpha }}{\tilde{\beta }}$。

证明很简单，根据无穷小的除法，$\frac{\alpha }{\beta }=\frac{\alpha }{\tilde{\alpha }}\times \frac{\tilde{\alpha }}{\tilde{\beta }}\times \frac{\tilde{\beta }}{\beta }=1\times 1\times \frac{\tilde{\alpha }}{\tilde{\beta }}=\frac{\tilde{\alpha }}{\tilde{\beta }}$。为什么不用定理一代换呢？因为利用定理一进行等价代换的话，会出现高阶无穷小，且我们无法比较 $o(\tilde{\alpha })$ 与 $o(\tilde{\beta })$ 之间的关系，也就不能将其代入无穷小的除法结果中。

并且定理一的使用条件是任意情况下的，你总能将一个无穷小代换为一个等价无穷小加高阶无穷小的和。但定理二的使用条件是严苛的，这样的除法条件，且不能含和式的情况下。所以你想要套用定理二将某个无穷小等价替换，那么你先考虑是否在相应环境中。

定理一和定理二的目的都是为了简化我们的极限运算，将复杂函数代替为更简单的函数。