插值——牛顿插值

插值任务简介

与拉格朗日插值一样，牛顿插值（Newton Interpolation） 也是构造一个次数不超过 $n$ 的多项式 $P_n(x)$ 来精确通过所有给定数据点。但它采用了更具结构性和递推优势的表达形式——基于差商（Divided Differences）的基底，使得在新增节点时无需完全重算，且便于程序实现。

本文将介绍牛顿插值的数学原理、构造过程、误差分析，并对比其与拉格朗日插值的异同。

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插值目标函数

为便于演示，仍设真实函数为：
$$f(x)=\sin x+\cos x,x\in [a,b]$$
在区间 $[a,b]$ 上取 $n+1$ 个互异节点 $x_0,x_1,\dots ,x_n$（可为等距或非等距），对应函数值为 $y_i=f(x_i)$。

目标：构造一个次数不超过 $n$ 的多项式 $P_n(x)$，使得：
$$P_n(x_i)=y_i,i=0,1,\dots ,n$$

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牛顿插值原理

1. 插值多项式的存在唯一性（回顾）

如前所述，给定 $n+1$ 个互异节点及其函数值，存在唯一的次数不超过 $n$ 的多项式满足插值条件。因此，牛顿插值与拉格朗日插值本质上构造的是同一个多项式，只是表达形式不同。

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2. 牛顿插值的核心思想：逐步构造

牛顿插值采用递增构造的思想：

• 从一个点开始，构造常数插值；
• 增加一个点，添加一次项修正；
• 再增加一个点，添加二次项修正；
• …
• 最终得到 ( n ) 次插值多项式。

关键在于引入差商（Divided Differences作为多项式的系数。

其最终形式为：
$$P_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots +f[x_0,\dots ,x_n]\prod _{j=0}^{n-1}(x-x_j)$$

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3. 差商的定义与递推关系

零阶差商：

$$f[x_i]=f(x_i)$$

一阶差商：

$$f[x_i,x_j]=\frac{f[x_j]-f[x_i]}{x_j-x_i},i\ne j$$

二阶差商：

$$f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i}$$

一般 ( k ) 阶差商（递归定义）：

$$f[x_i,x_{i+1},\dots ,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots ,x_{i+k}]-f[x_i,\dots ,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}$$

重要性质：差商关于节点对称，即
$$f[x_{i_0},x_{i_1},\dots ,x_{i_k}]=f[x_{\sigma (i_0)},x_{\sigma (i_1)},\dots ,x_{\sigma (i_k)}]$$
对任意排列 $\sigma$ 成立。

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4. 差商表

以4个点为例，差商可组织为如下三角表：

$x_i$	零阶	一阶	二阶	三阶
$x_0$	$f[x_0]$
		$f[x_0,x_1]$
$x_1$	$f[x_1]$		$f[x_0,x_1,x_2]$
		$f[x_1,x_2]$		$f[x_0,x_1,x_2,x_3]$
$x_2$	$f[x_2]$		$f[x_1,x_2,x_3]$
		$f[x_2,x_3]$
$x_3$	$f[x_3]$

每一列由前一列逐层计算得出，最终第一行的各阶差商即为牛顿插值多项式的系数。

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5. 牛顿插值多项式表达式

设已计算出各阶前向差商 $f[x_0],f[x_0,x_1],\dots ,f[x_0,\dots ,x_n]$，则牛顿插值多项式为：

$$P_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots +f[x_0,\dots ,x_n]\prod _{j=0}^{n-1}(x-x_j)$$

或使用求和与乘积符号紧凑表示为：

$$P_n(x)=\sum _{k=0}^{n}f[x_0,x_1,\dots ,x_k]\cdot \prod _{j=0}^{k-1}(x-x_j)$$
（约定当 $k=0$ 时，空乘积为 1）

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6. 插值余项（误差公式）

与拉格朗日插值相同，若 $f\in C^{n+1}[a,b]$，则对任意 $x\in [a,b]$，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得：

$$f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)$$

即余项形式完全一致。误差取决于函数光滑性与节点分布，与插值形式无关。

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7. 牛顿插值的优缺点

优点	缺点
递推结构清晰：新增节点只需增加一项，前面积累有效	仍为全局多项式：高次时仍可能出现龙格现象
计算效率高：差商表可动态构建，适合编程	对节点顺序敏感

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8. 与拉格朗日插值的对比

特性	拉格朗日插值	牛顿插值
表达式形式	显式基函数求和	递推差商展开
新增节点	全部基函数需重算	仅需增加最后一项
适合场景	小规模、一次性插值	动态插入

二者数学等价。

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Python 实现

以下代码实现牛顿插值，支持任意节点，并与拉格朗日插值结果验证一致性。

import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus'] = False# ========== 配置参数 ==========
INTERVAL = (-5.0, 5.0)
N = 10                          # 节点数 = N + 1
RESULT_DIR = 输出目录# ========== 目标函数 ==========
def f(x):return np.sin(x) + np.cos(x)# ========== 计算差商表 ==========
def compute_divided_differences(x_nodes, y_nodes):n = len(x_nodes)# 初始化差商表为二维数组dd = np.zeros((n, n))dd[:, 0] = y_nodes  # 第0列为函数值（零阶差商）for j in range(1, n):          # 列：阶数for i in range(n - j):     # 行：起始点dd[i, j] = (dd[i + 1, j - 1] - dd[i, j - 1]) / (x_nodes[i + j] - x_nodes[i])# 返回第一行（即 f[x0], f[x0,x1], ..., f[x0,...,xn]）return dd[0, :]# ========== 牛顿插值求值 ==========
def newton_interp(x_nodes, coeffs, x_query):"""coeffs: 牛顿插值系数 = [f[x0], f[x0,x1], ..., f[x0,...,xn]]"""x_query = np.asarray(x_query)n = len(coeffs)result = np.full_like(x_query, coeffs[0], dtype=np.float64)for k in range(1, n):term = coeffs[k]for j in range(k):term *= (x_query - x_nodes[j])result += termreturn result# ========== 主程序 ==========
def main():os.makedirs(RESULT_DIR, exist_ok=True)a, b = INTERVAL# 等距节点x_nodes = np.linspace(a, b, N + 1)y_nodes = f(x_nodes)# 计算牛顿系数（差商）coeffs = compute_divided_differences(x_nodes, y_nodes)# 测试点x_test = np.linspace(a, b, 1000)y_true = f(x_test)y_newton = newton_interp(x_nodes, coeffs, x_test)# 验证：与拉格朗日插值结果是否一致def lagrange_interp(x_nodes, y_nodes, x):x = np.asarray(x)n = len(x_nodes)y = np.zeros_like(x)for k in range(n):Lk = np.ones_like(x)denom = 1.0for j in range(n):if j != k:Lk *= (x - x_nodes[j])denom *= (x_nodes[k] - x_nodes[j])y += y_nodes[k] * (Lk / denom)return yy_lagrange = lagrange_interp(x_nodes, y_nodes, x_test)max_diff = np.max(np.abs(y_newton - y_lagrange))print(f"牛顿插值与拉格朗日插值的最大差异: {max_diff:.2e}")# 计算平均绝对误差 (MAE)mae = np.mean(np.abs(y_newton - y_true))print(f"牛顿插值的平均绝对误差 (MAE): {mae:.6f}")# 绘图plt.figure(figsize=(12, 6))plt.plot(x_test, y_true, 'k-', label=r'真实函数 $f(x) = \sin x + \cos x$')plt.plot(x_test, y_newton, 'b--', label='牛顿插值')plt.scatter(x_nodes, y_nodes, color='red', zorder=5, label='插值节点')plt.grid(True, linestyle=':', alpha=0.7)plt.legend()plt.title(f'牛顿插值（节点数: {N+1}）')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.tight_layout()plot_path = os.path.join(RESULT_DIR, 'newton_interp.png')plt.savefig(plot_path, dpi=300)print(f"结果图已保存至: {plot_path}")plt.show()if __name__ == '__main__':main()

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结果验证与说明

运行上述代码可得：

牛顿插值与拉格朗日插值的最大差异: 9.29e-14
牛顿插值的平均绝对误差 (MAE): 0.000889

两种方法计算出的插值结果之差的最大绝对值为：$9.29\times 10^{-14}$ 很小，说明牛顿插值与拉格朗日插值的数值结果一致。

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牛顿插值的扩展:

等距节点特例：若 $x_i=x_0+ih$，可将差商替换为向前差分，得到牛顿前插公式（Newton Forward Interpolation），适用于表格数据。

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附：文章说明

本文仅为个人理解，若有不当之处，欢迎指正～