洛谷 P11965：[GESP202503 七级] 等价消除 ← 位运算(异或) + STL map

【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P11965

【题目描述】
小 A 有一个仅包含小写英文字母的字符串 S。
对于一个字符串，如果能通过每次删去其中两个相同字符的方式，将这个字符串变为空串，那么称这个字符串是可以被等价消除的。
小 A 想知道 S 有多少子串是可以被等价消除的。
一个字符串 S′ 是 S 的子串，当且仅当删去 S 的某个可以为空的前缀和某个可以为空的后缀之后，可以得到 S′。

【输入格式】
第一行，一个正整数 ∣S∣，表示字符串 S 的长度。
第二行，一个仅包含小写英文字母的字符串 S。

【输出格式】
一行，一个整数，表示答案。

【输入样例】
7
aaaaabb

【输出样例】
9

【数据范围】
对于 20% 的测试点，保证 S 中仅包含 a 和 b 两种字符。
对于另外 20% 的测试点，保证 1≤∣S∣≤2000。
对于所有测试点，保证 1≤∣S∣≤2×10^5。​​​​​​​

【算法分析】
● 异或运算的基本性质
异或运算（XOR）具有以下重要性质：
交换律‌：a ^ b = b ^ a
结合律‌：a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c
自反性‌：a ^ a = 0
零元素‌：a ^ 0 = a
可逆性‌：如果 a ^ b = c，那么 a = c ^ b

● 前缀异或和
前缀异或和是一种基于异或运算的前缀和技术，用于高效处理子区间异或相关的问题。
前缀异或和 s 定义为：s[i] = a[1] ^ ... ^ a[i]，其中 ^ 表示异或运算。特别地，s[0] = 0。

● 前缀异或和重要性质
求证：若定义前缀异或和 s[i]=a[1]^a[2]^⋯^a[i]，则子区间 [le,ri] 的异或和等于 s[ri]^s[le−1]。
证明：由前缀异或和的定义，知：s[ri] = a[1]^a[2]^⋯^a[ri]，s[le−1] = a[1]^a[2]^⋯^a[le−1]。
又已知 区间 [le,ri] 的异或和等于 a[le]^⋯^a[ri]。
所以 s[ri]^s[le−1] = (a[1]^⋯^a[ri]) ^ (a[1]^⋯^a[le−1])
= (a[1]^⋯^a[le−1]) ^ (a[1]^⋯^a[le−1]^a[le]^⋯^a[ri])
= (a[1]^⋯^a[le−1]) ^ (a[1]^⋯^a[le−1]) ^ (a[le]^⋯^a[ri])
= 0 ^ (a[le]^⋯^a[ri])
= a[le]^⋯^a[ri]
综上，得证。

● 直接统计每个字符的频次，在需要处理大量子串或动态问题时效率不高。异或方法提供了一种极其高效的‌状态压缩‌技巧。​​​​​​​因为我们不关心每个字符具体出现了多少次，只关心它出现次数的‌奇偶性‌。而异或运算 ^ 的规则正好完美地模拟了奇偶性的变化：
0 ^ 1 = 1（偶 + 奇 = 奇）
1 ^ 1 = 0（奇 + 奇 = 偶）
0 ^ 0 = 0（偶 + 偶 = 偶）
基于存在数学定理“如果一个字符串中每个字符出现次数都是偶数，那么‌必定存在‌一个消除顺序，使得最终能消除为空串”，故在本题中，等价消除的判断方法为“一个字符串可以被等价消除当且仅当每个字符出现的次数都是偶数‌”。​​​​​​​既然是统计字符频次的奇偶性，故可以用异或操作来求解本题。 ​​​​​​​

● 设 preXor[i] 表示字符串 s[0..i-1] 的奇偶状态（用二进制位表示，每位代表一个字母的奇偶性，1 表示奇数次，0 表示偶数次）。那么子串 s[le..ri] 可等价消除 ⇔ preXor[le] == preXor[ri+1]。换句话说，如果 preXor[le] == preXor[ri]，那么子串 s[le..ri-1] 可消除。所以问题转化为：在 preXor[0..n] 中，有多少对 (i, j) 满足 i<j 且 preXor[i] == preXor[j]，其中 n 为字符串 s 的长度。
例如，给定字符串 "aaaaabb"，'a' 记为 1，'b' 记为 2，初始状态 preXor[0] = 0，其计算过程如下：
i=0，字符 'a'：state = 0 ^ 1 = 1，preXor[1] = 1。
i=1，字符 'a'：state = 1 ^ 1 = 0，preXor[2] = 0。
i=2，字符 'a'：state = 0 ^ 1 = 1，preXor[3] = 1。
i=3，字符 'a'：state = 1 ^ 1 = 0，preXor[4] = 0。
i=4，字符 'a'：state = 0 ^ 1 = 1，preXor[5] = 1。
i=5，字符 'b'：state = 1 ^ 2 = 3，preXor[6] = 3。
i=6，字符 'b'：state = 3 ^ 2 = 1，preXor[7] = 1。
综上，可得字符串 "aaaaabb" 的 preXor[] 数组值如下表所示。

i	0	1	2	3	4	5	6	7
preXor[i]	0	1	0	1	0	1	3	1

我们要找 preXor[i] == preXor[j] 且 i < j。观察上表可得，（0,2）（0,4）（2,4）（1,3）（1,5）（1,7）（3,5）（3,7）（5,7）等 9 个“数对”满足要求。它们分别对应着 9 个可等价消除的子串 s[0..1] = "aa"、s[0..3] = "aaaa"、s[2..3] = "aa"、s[1..2] = "aa"、s[1..4] = "aaaa"、s[1..6] = "aaaabb"、s[3..4] = "aa"、s[3..6] = "aabb"、s[5..6] = "bb" 等 9 个可等价消除的子串。

● 代码 x^=1<<(s[i]-'a'); 用位运算（异或和移位）高效地记录字符串中每个字符出现次数的奇偶性‌。本文代码中，利用 x^=1<<(s[i]-'a'); 计算所得的 x 值，就是上文提到的 preXor[] 数组值。
（1）s[i] - 'a' 计算当前字符 s[i] 相对于字母 'a' 的偏移量。例如：
'a'-'a'=0，'b'-'a'=1，'c'-'a'=2，……，依此类推。
（2）1<<(s[i]-'a') 将数字 1 左移上面计算的偏移量。例如：
s[i]='a' → 1<<0=1（二进制 0001），
s[i]='b' → 1<<1=2（二进制 0010），
s[i]='c' → 1<<2=4（二进制 0100），……，依次类推。
（3）x ^= ... 将变量 x 与上面计算出的位掩码进行异或操作（0^0=0、0^1=1、1^0=1、1^1=0）。

例如，针对字符串 "abacaba"，奇偶状态如下所示（0 表示偶数，1 表示奇数）。
初始状态：x=0000
遇到 'a'：x=0000^0001=0001（a奇）
遇到 'b'：x=0001^0010=0011（a奇b奇）
遇到 'a'：x=0011^0001=0010（a偶b奇）
遇到 'c'：x=0010^0100=0110（a偶b奇c奇）
遇到 'a'：x=0110^0001=0111（a奇b奇c奇）
遇到 'b'：x=0111^0010=0101（a奇b偶c奇）
遇到 'a'：x=0101^0001=0100（a偶b偶c奇）

● 代码 cnt+=mp[x]++; 是统计‌可消除子串数量‌的核心逻辑​​​​​​​。mp[x] 记录的是状态 x 之前出现的次数，每次遇到相同的状态，就意味着找到了‌新的可消除子串‌。这些子串的起点分别是之前所有出现过该状态的位置。所以，当我们在位置 ri 遇到状态 x，且这个状态之前在位置 le 出现过，那么子串 s[le..ri-1] 就是可消除的。

【算法代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
map<int,LL> mp;
LL cnt;
string s;
int n,x;int main() {cin>>n>>s;mp[0]=1;for(int i=0; i<n; i++) {x^=1<<(s[i]-'a');cnt+=mp[x]++;}cout<<cnt;return 0;
}/*
in:
7
aaaaabbout:
9
*/

【参考文献】
https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P11965
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/154517364
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/154310120
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/154304346