【11408学习记录】考研数学核心考点精讲：二维随机变量（离散与连续）全面解析

数学

概率论与数理统计

二维离散型随机变量

概率分布

1. 如果二维随机变量 $(X,Y)$ 的可能取值是有限对值或可列无限对值，则称 $(X,Y)$ 为二维离散型随机变量.

称： p i j = P { X = x i , Y = y j } , i , j = 1 , 2 , ⋯ p_{ij} = P\{X = x_i, Y = y_j\}, i, j = 1, 2, \cdots pij​=P{X=xi​,Y=yj​},i,j=1,2,⋯ 为 $(X,Y)$ 的分布律或随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律，记为 $(X,Y)\sim p_{ij}$ .

2. 数列 { p i j } , i , j , = 1 , 2 , ⋯ \{p_{ij}\}, i, j, = 1, 2, \cdots {pij​},i,j,=1,2,⋯ 是某一二维离散型随机变量的概率分布的充分必要条件为：

$$p_{ij}\ge 0,\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=1$$

联合分布函数

设 $(X,Y)$ 的概率分布 $p_{ij},i,j=1,2,\cdots$ ，则 $(X,Y)$ 的分布函数或 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数为： F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y p i j F(x, y) = P\{X \leq x, Y \leq y\} = \sum\limits_{x_i \leq x}\sum\limits_{y_j \leq y}p_{ij} F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=xi​≤x∑​yj​≤y∑​pij​

设 $G$ 是平面上的某个区域，则：$P\{(X,Y)\in G\}=\sum _{(x_i,y_j)\in G}{p}_{ij}$

边缘分布

$X,Y$ 的边缘分布分别为：

p i ⋅ = P { X = x i } = ∑ j = 1 ∞ P { X = x i , Y = y j } = ∑ j = 1 ∞ p i j ( i = 1 , 2 , ⋯ ) ; p ⋅ j = P { Y = y j } = ∑ i = 1 ∞ P { X = x i , Y = y j } = ∑ i = 1 ∞ p i j ( j = 1 , 2 , ⋯ ) ; p_{i\cdot} = P\{X = x_i\} = \sum\limits^{\infty}_{j = 1}P\{X = x_i, Y = y_j\} = \sum\limits^{\infty}_{j = 1}p_{ij}(i = 1, 2, \cdots); \\ p_{\cdot j} = P\{Y = y_j\} = \sum\limits^{\infty}_{i = 1}P\{X = x_i, Y = y_j\} = \sum\limits^{\infty}_{i = 1}p_{ij}(j = 1, 2, \cdots); pi⋅​=P{X=xi​}=j=1∑∞​P{X=xi​,Y=yj​}=j=1∑∞​pij​(i=1,2,⋯);p⋅j​=P{Y=yj​}=i=1∑∞​P{X=xi​,Y=yj​}=i=1∑∞​pij​(j=1,2,⋯);

条件分布

如果 $(X,Y)\sim p_{ij}(i,j=1,2,\cdots )$ ，对固定的 $j$ ，如果 p ⋅ j = P { Y = y j } > 0 p_{\cdot j} = P\{Y = y_j\} > 0 p⋅j​=P{Y=yj​}>0 ，则称

P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } = p i j p ⋅ j ( i = 1 , 2 , ⋯ ) P\{X = x_i|Y = y_j\} = \frac{P\{X = x_i, Y = y_j\}}{P\{Y = y_j\}} = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}(i = 1, 2, \cdots) P{X=xi​∣Y=yj​}=P{Y=yj​}P{X=xi​,Y=yj​}​=p⋅j​pij​​(i=1,2,⋯)

为 $X$ 在 “$Y=y_j$” 条件下的**条件分布.

同理，对固定的 $i$ ，如果 $p_{i\cdot }>0$ ，可定义 $Y$ 在 “$X=x_i$” 条件下的条件分布： P { Y = y j ∣ X = x i } = p i j p i ⋅ ( j = 1 , 2 , ⋯ ) P\{Y = y_j|X = x_i\} = \frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}(j = 1, 2, \cdots) P{Y=yj​∣X=xi​}=pi⋅​pij​​(j=1,2,⋯)

二维连续型随机变量

概率密度

如果二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$ 可以表示为：

$$F(x,y)={\int }_{-\infty }^{y}dv{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)du,(x,y)\in R^2$$

其中 $f(x,y)$ 是非负可积函数，则称 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，称 $f(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的概率密度 ，记为 $(X,Y)\sim f(x,y)$ .

二元函数 $f(x,y)$ 是概率密度的充分必要条件为：

$$f(x,y)\ge 0,{\int }_{-\infty }^{+\infty }dy{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx=1$$

联合分布函数与概率密度

设 $(X,Y)$ 的分布函数为 $F(x,y)$ ，概率密度为 $f(x,y)$ ，则：

• $F(x,y)$ 为 $(x,y)$ 的二元连续函数，且 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } = ∫ − ∞ y d v ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u F(x, y) = P\{X \leq x, Y \leq y\} = \int^y_{-\infty}dv\int^x_{-\infty}f(u, v)du F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫−∞y​dv∫−∞x​f(u,v)du
• 设 $G$ 为平面上某个区域，则 $P\{(X,Y)\in G\}=\int \underset{G}{\int }f(x,y)dxdy$
• 若 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处连续，则 $\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$
• 若 $F(x,y)$ 连续且可导，则 $(X,Y)$ 是连续型随机变量，且 $\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}$ 是它的概率密度

边缘概率密度

设 $(X,Y)\sim f(x,y)$ ，则 $X$ 的边缘分布函数为：

$$F_X(x)=F(x,+\infty )={\int }_{-\infty }^x\left[\begin{array}{c}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(u,v)dv\end{array}\right]du$$

所以 $X$ 是连续型随机变量，其概率密度为：$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$ ，称 $f_X(x)$ 为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 的边缘概率密度.

同理，$Y$ 也是连续型随机变量，其概率密度为 $f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$.

条件概率密度

设 $(X,Y)\sim f(x,y)$ ，边缘概率密度 $f_X(x)>0$ ，则称 $f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$ 为 $Y$ 在 “$X=x$” 条件下的条件概率密度.

同理，可定义 $X$ 在 “$Y=y$” 条件下的条件概率密度 $f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}(f_Y(y)>0)$

由以上讨论可知，若 $f_X(x)>0,f_Y(y)>0$ ，则由概率密度乘法公式：

$$f(x,y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x)=f_Y(y)f_{X|Y}(x|y)$$

英语

每日一句

Facebook promised the European commission then that it would not link phone numbers to Facebook identities, but it broke the promise almost as soon as the deal went through.(2018, Reading Comprehension, Part A Text 3)

词汇

link …… to ……: 使 …… 和 …… 挂钩，使 …… 和 …… 联系起来
identity: n. 身份；特性
bread the promise: 食言，违背承诺
go through: 成交，通过

第一步：找谓语

Facebook promised the European commission then that it would not link phone numbers to Facebook identities, but it broke the promise almost as soon as the deal went through.

第二步：断句

原句中存在4处谓语，包含4件事，其谓语分别位于以下位置：

• promised 为主句谓语
• would not link 为 that 引导的宾语从句谓语
• broke 为 but 引导的转折并列句谓语
• went 为 as soon as 引导的时间状语从句谓语

按照标点、引导词以及谓语，可以将原句断开为以下分句：

• Facebook promised the European commission then —— 主句
• that it would not link phone numbers to Facebook identities, —— 宾语从句
• but it broke the promise almost —— 转折并列句
• as soon as the deal went through. —— 时间状语从句

第三步：简化

主句

Facebook promised the European commission then

• 主句主语部分：Facebook
• 主句谓语部分：promised 为及物动词，后接双宾语
• 主句宾语部分：the European commission为动词：promised 的间接宾语
  • 定冠词：the 与形容词：European 共同修饰名词：commission
  • 名词：commission 为主句间接宾语核心词
• 主句状语部分：then 修饰动词：promised，说明动作发生的时间

去掉主句扩展部分，就得到了主句核心：

• Facebook promised …… commission …… —— 脸书承诺 …… 委员会 ……

宾语从句

that it would not link phone numbers to Facebook identities,

• 从句引导词：that 引导宾语从句，从句作为动词：promised 的直接宾语
• 从句主语部分： it
• 从句谓语部分：would not link 为情态动词 + 及物动词的否定语态，后接宾语
• 从句宾语部分：phone numbers to Facebook identities,
  • 名词：phone 修饰名词：numbers
  • 名词：numbers 为主句宾语核心词
  • 介词短语：to Facebook identities 为宾语补足语，补充说明链接的对象
    • 名词：Facebook 修饰名词：identities
    • 名词：identities 为介词：to 的宾语核心词

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• that it would not link …… numbers to …… identities —— 它将不会使 …… 数字与 ……身份联系起来

转折并列句

but it broke the promise almost

• 并列句引导词：but 引导转折并列句，该部分与主句并列，表示转折
• 并列句主句部分：it
• 并列句谓语部分：broke 为及物动词的过去时态，后接宾语
• 并列句宾语部分：the promise almost
  • 定冠词：the 修饰名词：promise
  • 名词：promise 为并列句宾语核心词
  • 副词：almost 修饰引导词：as soon as 引导的时间状语从句，表示程度

去掉并列句扩展部分，就得到了并列句核心：

• but it broke …… promise …… —— 但是它打破了 …… 承诺 ……

时间状语从句

as soon as the deal went through.

• 从句引导词：as soon as 引导时间状语从句，修饰并列句，说明并列句发生的时间
• 从句主语部分： the deal
  • 定冠词：the 修饰名词：deal
  • 名词：deal 为从句主语核心词
• 从句谓语部分：went through.
  • 动词：went 为不及物动词的过去时态
  • 副词：through 修饰动词：went 共同构成搭配，表示“成交，通过”

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• as soon as …… deal went …… —— …… 想法一通过就 ……