电力分配的艺术：从城市供电到二分查找的奇妙旅程
亲爱的读者朋友们，想象一下这样的场景：你是一位城市规划师，面对着一片需要供电的城市群。每座城市都有不同数量的供电站，但供电站的影响范围有限，只能覆盖周边一定距离的城市。现在政府给了你额外的建设指标，允许你新建几座供电站。你会如何布局，才能让所有城市中供电最差的那座城市也能获得尽可能好的供电条件？
这不仅仅是城市规划中的现实问题，更是一个经典的算法优化难题。今天，让我们一起探索这个问题的精妙之处，看看如何用计算机科学的智慧来解决这个看似复杂的优化问题。
问题背景与现实映射
在城市规划、资源分配和网络优化等领域，我们经常面临类似的"短板效应"问题：系统的整体性能往往受限于最薄弱的环节。就像木桶的容量取决于最短的那块木板，城市群的供电质量也取决于供电最差的那座城市。
原题中的供电站分配问题，实际上是一个典型的"最大化最小值"（maximize the minimum）问题。这类问题在现实生活中比比皆是：
云计算中的负载均衡：如何分配计算资源，使得性能最差的服务器也能保持基本服务水平
物流网络设计：如何布置仓库，使得配送时间最长的客户也能在可接受时间内收到货物
教育资源配置：如何分配教师资源，使得教学条件最差的学校也能保证基本教育质量
问题深入分析
问题重述与关键理解
给定n个城市，每个城市有若干供电站，每个供电站可以覆盖距离不超过r的所有城市。我们需要新建k个供电站，目标是让所有城市中"供电站覆盖数"最小的那个城市，这个最小值尽可能大。
这里有几个关键点需要理解：
覆盖范围的计算：供电站的覆盖不是简单的相邻关系，而是以距离r为半径的覆盖范围
电量的定义：一个城市的电量等于所有能覆盖到该城市的供电站数量之和
优化目标：不是总和最大，而是最小值最大——这是典型的公平性优化
核心算法思路：二分查找 + 贪心验证
这个问题的最优解法结合了两种经典的算法思想：二分查找和贪心算法。
二分查找的巧妙应用
我们无法直接求解"最小电量的最大值"，但可以换个思路：假设我们知道这个最大值是x，那么我们可以验证是否存在一种建设方案，使得所有城市的电量都不低于x。
于是问题转化为：对于给定的候选值x，判断是否能用k个新建供电站让所有城市电量≥x。
这个验证问题比原问题简单得多，而且具有单调性：如果x可行，那么所有小于x的值都可行；如果x不可行，那么所有大于x的值都不可行。这正是二分查找适用的典型场景。
贪心验证策略
对于每个候选值x，我们需要验证其可行性。这里采用贪心策略：
首先计算每个城市在新建供电站前的初始电量
从左到右遍历城市，当发现某个城市电量不足x时，在尽可能靠右的位置新建供电站（为了最大化覆盖效果）
使用差分数组或滑动窗口技术高效更新受影响城市的电量
统计总共需要的新建供电站数量，如果≤k则x可行
算法步骤详解
预处理初始电量
使用滑动窗口计算每个城市初始能被多少原有供电站覆盖
时间复杂度：O(n)
二分查找框架
确定查找范围：最小可能值是当前最小电量，最大可能值是当前最小电量 + k
每次取中间值mid，验证mid是否可行
根据验证结果调整查找范围
可行性验证函数
使用差分数组记录供电站建设的影响
从左到右扫描，维护当前城市的实际电量
当城市i电量不足时，在位置min(i+r, n-1)处建设供电站
更新受影响区域的电量
时间复杂度分析
该算法的时间复杂度主要取决于：
初始电量计算：O(n)
二分查找迭代次数：O(log(k))
每次验证的时间复杂度：O(n)
总时间复杂度为O(n log k)，对于n≤10^5，k≤10^9的数据范围是完全可行的。
空间复杂度分析
算法需要以下额外空间：
存储每个城市初始电量的数组：O(n)
差分数组：O(n)
其他辅助变量：O(1)
总空间复杂度为O(n)，在给定的约束条件下是高效的。
进阶难点与精妙之处
问题转换的洞察力
将优化问题转换为判定问题是关键突破
认识到"最大化最小值"问题的二分查找特性
贪心策略的正确性证明
为什么在尽可能靠右的位置建设是最优的？
这基于覆盖范围的连续性和问题的局部性原理
差分数组的优化技巧
避免每次建设后重新计算所有受影响城市的电量
通过差分数组在O(1)时间内更新区间影响
边界情况处理
供电站建设位置不能超过数组边界
处理r=0的特殊情况
算法思维拓展
这个问题的解法体现了计算机科学中几个重要的思维模式：
二分答案的通用模式
当遇到"最大化最小值"或"最小化最大值"问题时，二分答案往往是首选策略。这种思路在以下问题中同样有效：
在D天内送达包裹的能力
分割数组的最大值
制作m束花所需的最少天数
贪心选择的局部最优性
在这个问题中，我们证明了在电量不足的城市右侧尽可能远的位置建设供电站是局部最优选择，而且这种局部最优能导致全局最优。这种"贪心选择性"是很多优化问题的共性。
差分数组的高效性
对于区间更新、单点查询或区间查询问题，差分数组和前缀和技巧能大幅提高效率。这种思想在以下场景中同样有用：
区间加法操作
航班预订统计
会议室安排问题
通过这个城市供电站优化问题，我们看到了算法思维在解决实际问题中的强大力量。从问题的理解转换，到算法框架的选择，再到优化技巧的应用，每一步都体现了计算机科学的深邃智慧。
这个问题的价值不仅在于其解法本身，更在于它展示了一种通用的解题范式：当面对复杂优化问题时，先思考能否将其转换为更简单的判定问题，再寻找高效的验证方法，最后用合适的搜索策略找到最优解。
希望今天的分享能让你对算法设计有新的认识，在遇到类似问题时，能够想起这种"二分答案 + 高效验证"的解题框架。算法之美，就在于这种将复杂问题层层分解，最终找到优雅解法的过程。
愿你在算法的世界里，始终保持着探索的热情和发现美的眼！
附带代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>// 定义队列结构，用于模拟滑动窗口
typedef struct {int *data; // 队列数据int front; // 队首指针int rear; // 队尾指针int size; // 队列大小
} Queue;// 初始化队列
Queue* createQueue(int size) {Queue *q = (Queue*)malloc(sizeof(Queue));q->data = (int*)malloc(sizeof(int) * size);q->front = 0;q->rear = 0;q->size = size;return q;
}// 判断队列是否为空
int isEmpty(Queue *q) {return q->front == q->rear;
}// 入队操作
void enqueue(Queue *q, int value) {q->data[q->rear] = value;q->rear = (q->rear + 1) % q->size;
}// 出队操作
int dequeue(Queue *q) {if (isEmpty(q)) return -1;int value = q->data[q->front];q->front = (q->front + 1) % q->size;return value;
}// 获取队首元素
int front(Queue *q) {if (isEmpty(q)) return -1;return q->data[q->front];
}// 释放队列内存
void freeQueue(Queue *q) {free(q->data);free(q);
}// 检查给定目标值x是否可以通过新建k个供电站实现
int canAchieve(int* stations, int stationsSize, int r, int k, long long x) {// 创建差分数组，用于高效记录供电站建设的影响long long *diff = (long long*)calloc(stationsSize + 2, sizeof(long long));// 当前城市的实际电量（初始电量 + 新建供电站带来的增量）long long currentPower = 0;// 记录已经使用的新建供电站数量long long used = 0;// 遍历所有城市for (int i = 0; i < stationsSize; i++) {// 更新当前城市的电量：加上差分数组当前位置的值currentPower += diff[i];// 计算当前城市的实际总电量long long totalPower = stations[i] + currentPower;// 如果当前城市电量不足目标值xif (totalPower < x) {// 计算需要新增的供电站数量long long need = x - totalPower;// 更新已使用的供电站数量used += need;// 如果使用的供电站数量超过限制k，则无法实现if (used > k) {free(diff);return 0;}// 在尽可能靠右的位置建设供电站，以最大化覆盖效果int buildPos = (i + r < stationsSize) ? (i + r) : (stationsSize - 1);// 更新差分数组：在建设位置+r+1处减去新增的影响，实现区间更新if (buildPos + r + 1 < stationsSize) {diff[buildPos + r + 1] -= need;}// 当前位置加上新增的影响currentPower += need;}}free(diff);return 1;
}// 主函数：求解最大化最小电量问题
int maxPower(int* stations, int stationsSize, int r, int k) {// 计算初始状态下每个城市的电量long long *power = (long long*)calloc(stationsSize, sizeof(long long));Queue *window = createQueue(stationsSize + 1);// 使用滑动窗口计算每个城市的初始电量// 遍历所有城市作为供电站位置for (int i = 0; i < stationsSize; i++) {// 将当前供电站加入窗口enqueue(window, i);// 移除超出左边界的供电站（距离 > r）while (!isEmpty(window) && front(window) < i - r) {dequeue(window);}// 计算当前城市i被多少个供电站覆盖// 队列中的每个供电站都能覆盖到城市iint count = 0;int tempFront = window->front;while (tempFront != window->rear) {int stationPos = window->data[tempFront];// 如果供电站stationPos能够覆盖到城市i（距离 <= r）if (abs(stationPos - i) <= r) {power[i] += stations[stationPos];}tempFront = (tempFront + 1) % window->size;}}freeQueue(window);// 寻找初始最小电量，作为二分查找的左边界long long left = LLONG_MAX;for (int i = 0; i < stationsSize; i++) {if (power[i] < left) {left = power[i];}}// 计算二分查找的右边界：最小可能值 + 最多可新建的供电站数量long long right = left + k;long long answer = left;// 二分查找：寻找最大的x，使得可以通过新建k个供电站让所有城市电量≥xwhile (left <= right) {long long mid = left + (right - left) / 2;// 检查mid是否可行if (canAchieve(stations, stationsSize, r, k, mid)) {// 如果mid可行，尝试更大的值answer = mid;left = mid + 1;} else {// 如果mid不可行，尝试更小的值right = mid - 1;}}free(power);return (int)answer;
}// 测试函数
int main() {printf("城市供电站优化问题解决方案\n");printf("==========================\n\n");// 测试用例1：来自题目示例int stations1[] = {1, 2, 4, 5, 0};int r1 = 1;int k1 = 2;int result1 = maxPower(stations1, 5, r1, k1);printf("测试用例1:\n");printf("城市供电站分布: [1, 2, 4, 5, 0]\n");printf("覆盖半径 r = %d, 可新建供电站数量 k = %d\n", r1, k1);printf("最优解 - 最小电量的最大值: %d\n", result1);printf("预期结果: 5\n");printf("测试结果: %s\n\n", result1 == 5 ? "通过" : "失败");// 测试用例2：来自题目示例int stations2[] = {4, 4, 4, 4};int r2 = 0;int k2 = 3;int result2 = maxPower(stations2, 4, r2, k2);printf("测试用例2:\n");printf("城市供电站分布: [4, 4, 4, 4]\n");printf("覆盖半径 r = %d, 可新建供电站数量 k = %d\n", r2, k2);printf("最优解 - 最小电量的最大值: %d\n", result2);printf("预期结果: 4\n");printf("测试结果: %s\n\n", result2 == 4 ? "通过" : "失败");// 测试用例3：自定义简单案例int stations3[] = {1, 0, 1};int r3 = 1;int k3 = 1;int result3 = maxPower(stations3, 3, r3, k3);printf("测试用例3:\n");printf("城市供电站分布: [1, 0, 1]\n");printf("覆盖半径 r = %d, 可新建供电站数量 k = %d\n", r3, k3);printf("最优解 - 最小电量的最大值: %d\n\n", result3);// 测试用例4：所有城市初始都没有供电站int stations4[] = {0, 0, 0, 0};int r4 = 2;int k4 = 3;int result4 = maxPower(stations4, 4, r4, k4);printf("测试用例4:\n");printf("城市供电站分布: [0, 0, 0, 0]\n");printf("覆盖半径 r = %d, 可新建供电站数量 k = %d\n", r4, k4);printf("最优解 - 最小电量的最大值: %d\n\n", result4);// 测试用例5：大城市集中供电int stations5[] = {10, 0, 0, 0, 10};int r5 = 2;int k5 = 2;int result5 = maxPower(stations5, 5, r5, k5);printf("测试用例5:\n");printf("城市供电站分布: [10, 0, 0, 0, 10]\n");printf("覆盖半径 r = %d, 可新建供电站数量 k = %d\n", r5, k5);printf("最优解 - 最小电量的最大值: %d\n\n", result5);printf("程序运行结束！\n");return 0;
}