深入解析 LeetCode 1572：矩阵对角线元素的和 —— 从问题本质到高效实现

引用

在算法学习中，矩阵类问题常涉及对特定元素集合的操作，如对角线、行、列的统计。LeetCode 1572 题“矩阵对角线元素的和”就是这类问题的典型代表，它考察了开发者对矩阵结构的理解、遍历策略的优化以及边界条件的处理能力。

一、问题概述

LeetCode 1572 题要求计算正方形矩阵的主对角线（从左上角到右下角，元素下标满足 `i == j`）和**副对角线**（从右上角到左下角，元素下标满足 `i + j == len(mat) - 1`）元素的和，且交点元素（当矩阵维度为奇数时）仅计算一次。

以示例 1 为例，输入矩阵 `[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]`，主对角线元素为 `1,5,9`，副对角线元素为 `3,5,7`，交点 `5` 仅计算一次，最终和为 `25` 。

二、解题思路

采用一次遍历，双元素处理的策略：遍历矩阵的每一行 `i`，同时累加主对角线元素 `mat[i][i]` 和副对角线元素 `mat[i][len-1-i]`；若矩阵维度为奇数，需减去交点元素的重复值（因该元素被累加了两次）。

这种思路的优势在于仅需一次遍历即可完成所有元素的累加，避免了对主、副对角线的分别遍历，大幅提升了效率。

三、代码实现与解析

```java

class Solution {public int diagonalSum(int[][] mat) {int len = mat.length;int sum = 0;for (int i = 0; i < len; i++) {sum += mat[i][i]; // 累加主对角线元素sum += mat[i][len - 1 - i]; // 累加副对角线元素}if (len % 2 != 0) { // 处理奇数维度的重复元素sum -= mat[len / 2][len / 2];}return sum;}}

```

**代码逐句解析**：

- `int len = mat.length;`：获取正方形矩阵的维度（行数列数相等）。

- 循环遍历每一行 `i`，在每次循环中：

- `sum += mat[i][i];`：累加主对角线元素，其列索引与行索引相同。

- `sum += mat[i][len - 1 - i];`：累加副对角线元素，其列索引为 `len-1-i`（由副对角线的下标规律 `i + j = len-1` 推导而来）。

- `if (len % 2 != 0)`：判断矩阵维度是否为奇数。若为奇数，矩阵中心的交点元素会被主、副对角线各累加一次，因此需要 `sum -= mat[len / 2][len / 2];` 来去除重复计算。

四、复杂度与边界分析

4.1 复杂度分析

- **时间复杂度**：O(n)，其中 $n$ 是矩阵的维度。算法仅需遍历矩阵的每一行一次，每次遍历执行两次元素累加操作，时间复杂度与矩阵规模线性相关。

- **空间复杂度**：O(1)，仅使用了 `len` 和 `sum` 两个变量，属于常数级空间开销。

4.2 边界情况验证

- **矩阵维度为 1**：如示例 3 `[[5]]`，遍历后 `sum` 累加了 `5 + 5 = 10`，因维度为奇数，减去交点元素 `5`，最终输出 `5`，符合预期。

- **矩阵维度为偶数**：如示例 2 的 `4x4` 全 1 矩阵，主、副对角线无交点，所有元素累加后无需去重，输出 `8`，与示例一致。

- **矩阵维度为奇数**：如示例 1 的 `3x3` 矩阵，遍历后通过去重操作得到正确结果 `25`。

五、算法思想拓展与应用

5.1 算法思想拓展

本题的“一次遍历，双元素处理”思路可推广至其他对称结构的数组/矩阵问题。例如：

- 计算数组的前缀和与后缀和的联合统计时，可通过一次遍历同时更新两个和。

- 处理矩阵中对称位置元素的操作（如对称位置元素的交换、差值计算等），均能通过类似的遍历策略优化效率。

5.2 实际应用场景

该算法在以下场景中具有实用价值：

- **图像处理**：在处理正方形图像的对角线特征时（如对角线像素的亮度总和、颜色通道总和等），可快速完成统计。

- **矩阵运算辅助**：在一些线性代数应用中，需快速计算主副对角线元素和以辅助判断矩阵性质（如对角占优性的初步筛查）。

- **数据分析**：对正方形数据矩阵的对角线特征进行统计（如用户行为矩阵中对角线行为的汇总分析）。

六、总结

LeetCode 1572 题“矩阵对角线元素的和”通过一次遍历优化和边界条件处理，展现了高效解决矩阵元素统计问题的思路。其核心在于利用矩阵的对称结构，在一次遍历中同时处理主、副对角线元素，并通过维度奇偶性判断解决重复计算问题。

掌握这种“结构感知 + 遍历优化”的思维，不仅能高效解决本题，还能迁移到数组、矩阵类的各类算法问题中，提升对线性结构的操作与优化能力，为实际开发中的类似场景提供高效解决方案。