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【模板】二维前缀和 (牛客)

news 2025/11/7 9:03:45

写在前面：

牛客每日一题持续更新中！

今天给亦菲和彦祖们带来的是 【模板】二维前缀和

是一个模版题题目如下：

题意整理。

给定一个n行m列的矩阵。
有q次查询，每次查询给定子矩阵的左上角坐标和右下角坐标，输出子矩阵中所有元素的累加和。

1.解题思路

我们可以开个二维数组 a[i][j] 表示前i行且列数<=j 的所有元素之和，如果i=3，j=4那么就是下图所有元素之和，然后对矩阵进行预处理，得到对应的前缀和矩阵。
利用前缀和矩阵相应区域的加减运算，即可得到对应子矩阵中所有元素的累加和。
假如我们要求如图中绿色区域的矩阵元素和，
我们可以用图中绿色框框内的元素和 - 蓝色框框内的元素之和 - 黄色框框内的元素之和 + 红色框框之和（因为红色框框内元素和被减了两次所以需要加一次）

2.代码实现：

C/C++版本：

#include<bits/stdc++.h>  // 包含所有标准库头文件
using namespace std;long long a[1010][1010];  // 定义二维数组，同时作为原始矩阵和前缀和矩阵int main(){int n, m, q;cin >> n >> m >> q;  // 输入矩阵行数n，列数m，查询次数qint i, j;// 第一步：按行计算列方向的前缀和for(i = 1; i <= n; i++){for(j = 1; j <= m; j++){cin >> a[i][j];  // 输入矩阵元素// 计算列前缀和：a[i][j] = 原矩阵值 + 上方元素的前缀和// 此时a[i][j]表示从(1,1)到(i,j)的矩形中，第j列从第1行到第i行的和a[i][j] += a[i-1][j];}}// 第二步：按列计算行方向的前缀和，完成二维前缀和的构建for(j = 1; j <= m; j++){for(i = 1; i <= n; i++){// 计算二维前缀和：a[i][j] = 当前列前缀和 + 左侧列的前缀和// 此时a[i][j]表示从(1,1)到(i,j)的整个矩形的元素和a[i][j] += a[i][j-1];}}// 处理每个查询while(q--){int x_1, y_1, x_2, y_2;cin >> x_1 >> y_1 >> x_2 >> y_2;  // 输入查询的矩形区域// 计算子矩阵和：利用二维前缀和的性质// 总和 = 大矩形 - 左边矩形 - 上边矩形 + 左上角矩形（因为被减了两次）cout << a[x_2][y_2] - a[x_1-1][y_2] - a[x_2][y_1-1] + a[x_1-1][y_1-1] << endl;}return 0;
}

Python版本：

import sysdef main():data = sys.stdin.read().split()it = iter(data)# 读取n, m, qn = int(next(it)); m = int(next(it)); q = int(next(it))# 创建二维数组，多开一圈用于处理边界情况# 使用0-indexed，但保留第0行和第0列为0a = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]# 第一步：按行计算列方向的前缀和for i in range(1, n + 1):for j in range(1, m + 1):val = int(next(it))# a[i][j] = 原矩阵值 + 上方元素的前缀和a[i][j] = val + a[i-1][j]# 第二步：按列计算行方向的前缀和，完成二维前缀和for j in range(1, m + 1):for i in range(1, n + 1):# a[i][j] = 当前列前缀和 + 左侧列的前缀和a[i][j] += a[i][j-1]# 处理每个查询results = []for _ in range(q):x1 = int(next(it)); y1 = int(next(it))x2 = int(next(it)); y2 = int(next(it))# 计算子矩阵和：大矩形 - 左边 - 上边 + 左上角total = (a[x2][y2] - a[x1-1][y2] - a[x2][y1-1] + a[x1-1][y1-1])results.append(str(total))# 输出所有结果print("\n".join(results))if __name__ == "__main__":main()

Java版本：

import java.util.*;
import java.io.*;public class Main {public static void main(String[] args) {FastReader sc = new FastReader();int n = sc.nextInt();  // 行数int m = sc.nextInt();  // 列数int q = sc.nextInt();  // 查询次数// 创建二维数组，多开一圈用于处理边界情况long[][] a = new long[n + 1][m + 1];// 第一步：按行计算列方向的前缀和for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {long val = sc.nextLong();// a[i][j] = 原矩阵值 + 上方元素的前缀和a[i][j] = val + a[i - 1][j];}}// 第二步：按列计算行方向的前缀和，完成二维前缀和for (int j = 1; j <= m; j++) {for (int i = 1; i <= n; i++) {// a[i][j] = 当前列前缀和 + 左侧列的前缀和a[i][j] += a[i][j - 1];}}// 处理每个查询StringBuilder sb = new StringBuilder();for (int i = 0; i < q; i++) {int x1 = sc.nextInt();int y1 = sc.nextInt();int x2 = sc.nextInt();int y2 = sc.nextInt();// 计算子矩阵和：大矩形 - 左边 - 上边 + 左上角long result = a[x2][y2] - a[x1 - 1][y2] - a[x2][y1 - 1] + a[x1 - 1][y1 - 1];sb.append(result).append("\n");}System.out.print(sb.toString());}// 快速输入类，提高Java输入效率static class FastReader {BufferedReader br;StringTokenizer st;public FastReader() {br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));}String next() {while (st == null || !st.hasMoreElements()) {try {st = new StringTokenizer(br.readLine());} catch (IOException e) {e.printStackTrace();}}return st.nextToken();}int nextInt() {return Integer.parseInt(next());}long nextLong() {return Long.parseLong(next());}}
}