计算复杂二项分布的定理——De Moivre-Laplace Theorem
蒂莫夫-拉普拉斯定理（De Moivre-Laplace Theorem）是概率论中一个重要的定理，它是中心极限定理的特殊情况，专门针对二项分布。
定理内容
设(Xn)服从参数为(n,p)的二项分布，即(Xn∼B(n,p))。当(n→∞)时，标准化后的随机变量：[fracXn−npnp(1−p)]设 ( X_n ) 服从参数为 (n, p) 的二项分布，即 ( X_n \sim B(n, p) )。当 ( n \to \infty ) 时，标准化后的随机变量：
[
frac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}
]设(Xn)服从参数为(n,p)的二项分布，即(Xn∼B(n,p))。当(n→∞)时，标准化后的随机变量：[fracXn−npnp(1−p)]
依分布收敛到标准正态分布N(0,1)N(0,1)N(0,1)。
数学表达
[limn→∞P(Xn−npnp(1−p)≤x)=Φ(x)=12π∫−∞xe−t2/2dt][ \lim_{n \to \infty} P\left( \frac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq x \right) = \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} dt ][limn→∞P(np(1−p)Xn−np≤x)=Φ(x)=2π1∫−∞xe−t2/2dt]
直观理解
这个定理告诉我们：
- 即使原始分布是离散的二项分布
- 当试验次数 ( n ) 很大时
- 标准化后的二项分布可以用连续的正态分布来近似
应用条件
通常认为近似效果较好的条件是：
[np≥5且n(1−p)≥5][
np \geq 5 \quad \text{且} \quad n(1-p) \geq 5
][np≥5且n(1−p)≥5]
实际应用例子
问题：抛一枚均匀硬币1000次，求正面出现次数在480到520之间的概率。
解：
- (n=1000,p=0.5)( n = 1000, p = 0.5 )(n=1000,p=0.5)
- (μ=np=500,σ=np(1−p)=250≈15.81)( \mu = np = 500, \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{250} \approx 15.81 )(μ=np=500,σ=np(1−p)=250≈15.81)
使用蒂莫夫-拉普拉斯定理：
P(480≤X≤520)=P(480−50015.81≤X−50015.81≤520−50015.81)P(480 \leq X \leq 520) = P\left( \frac{480-500}{15.81} \leq \frac{X-500}{15.81} \leq \frac{520-500}{15.81} \right)P(480≤X≤520)=P(15.81480−500≤15.81X−500≤15.81520−500)
=P(−1.26≤Z≤1.26)=Φ(1.26)−Φ(−1.26)≈0.792= P(-1.26 \leq Z \leq 1.26) = \Phi(1.26) - \Phi(-1.26) \approx 0.792=P(−1.26≤Z≤1.26)=Φ(1.26)−Φ(−1.26)≈0.792
与中心极限定理的关系
蒂莫夫-拉普拉斯定理是中心极限定理在二项分布情况下的特例，因为：
- 二项分布可以看作是 ( n ) 个独立伯努利试验的和
- 每个伯努利试验的均值是 ( p )，方差是 ( p(1-p) )
- 根据中心极限定理，独立同分布随机变量和的标准化形式趋近于正态分布
历史意义
这个定理在历史上很重要，因为：
- 它是早期发现的正态逼近结果
- 为后来更一般的中心极限定理奠定了基础
- 在实际统计推断中有广泛应用
记忆要点
- 适用对象：二项分布 ( B(n, p) )
- 核心结论：标准化后近似服从 ( N(0,1) )
- 标准化方法：(X−npnp(1−p))( \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} )(np(1−p)X−np)
- 应用条件：( n ) 足够大，( np ) 和 ( n(1-p) ) 都不太小
这个定理使得我们可以用熟悉的正态分布来计算复杂的二项概率，大大简化了实际计算工作。
例题
