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多维尺度分析法（MDS）

news 2025/10/31 9:15:04

想象一下，你手里有一张记录了世界上所有城市之间“旅行时间”的表格（这是一个高维数据，因为旅行时间包含了距离、交通、地形等多种复杂因素）。现在，你想要把这些城市画在一张二维平面地图上，就像我们平时用的地图一样。

多维尺度分析法（Multidimensional Scaling，简称 MDS），就是扮演这个“翻译官”的角色。

MDS 的核心目标：

在一个低维空间（通常是二维或三维）中，重新排列你的数据点（比如城市），使得它们在低维空间中的相对距离，尽可能地与它们在原始高维世界中的“差异程度”保持一致。

简单来说，MDS 是一种数据可视化和降维技术，它关注的不是数据点的具体数值，而是数据点之间的关系。

MDS 最擅长处理那些难以直接用数值衡量的“相似度”或“差异度”。

场景	原始数据（“差异”）	MDS 后的可视化效果
市场研究	消费者对不同品牌（如可乐、雪碧、芬达）的“相似度评分”。	在二维图上，相似的品牌会聚集在一起，让你一眼看出哪些是竞争对手。
心理学	实验对象对不同情绪词汇（如“愤怒”、“悲伤”、“平静”）的感知差异。	情绪词汇会根据它们的“感觉”上的相似性被分组。
地理学	城市之间的实际距离（如用户提供的例子）。	将城市映射到平面上，还原出它们的地理相对位置。
生物信息学	不同物种基因序列的差异程度。	差异小的物种在图上距离近，形成进化树的雏形。

通俗例子：品牌定位图

假设你调查了 5 种饮料的相似度。MDS 可能会给你一张图：

MDS 成功地把消费者主观的“感觉”，转化成了一张客观的“地图”。

MDS 的数据处理流程非常清晰：

项目	内容	关键点
输入	一个样本间的距离矩阵（或叫不相似度矩阵）。	MDS 不需要原始的高维数据，只需要知道“A和B有多不同”。
输出	每个样本在低维空间（通常是 2D 或 3D）中的坐标位置。	这些坐标就是你用来画图的 X 轴和 Y 轴数据。

距离矩阵的例子（城市距离）：

MDS 的任务就是找到 A、B、C、D 四个点在平面上的坐标，使得它们之间的欧氏距离（平面上的直线距离）尽可能接近上面表格中的数值。

MDS 如何判断自己“翻译”得好不好呢？它使用一个叫做 Stress（压力）的指标作为损失函数。

Stress 函数就是计算所有点对的“原始距离”和“低维距离”之间的差距平方和。

$Stress(X)=∑i<j(dij−d^ij)2∑i<jdij2 \text{Stress}(X) = \sqrt{\frac{\sum_{i<j} (d_{ij} - \hat{d}_{ij})^2}{\sum_{i<j} d_{ij}^2}}$

MDS 根据它对“距离”的理解程度，分成了两种主要类型：

类型	度量型 MDS (Metric MDS)	非度量型 MDS (Non-metric MDS)
特点	要求精确：低维距离要与原始距离成比例（线性关系）。	要求相对：只要求低维距离的顺序与原始距离的顺序一致。
适用场景	原始距离是数值且可靠的（如欧氏距离、曼哈顿距离、实际的物理距离）。	原始距离是主观的、感知的或等级的（如“非常相似”、“有点相似”、“完全不同”）。
通俗理解	“我要求翻译后的距离是原始距离的 1/1000。”	“我只要求翻译后，最远的点还是最远，次远的还是次远。”

非度量型 MDS 在处理消费者感知、心理学数据等主观性较强的场景时，更为灵活和常用。

MDS 并不是唯一的降维方法，但它有着独特的关注点：

方法	核心思想	保持的关系	关注点
MDS	几何还原：最小化高维与低维的距离差异。	全局距离关系	强调整体结构的匹配。
PCA	统计投影：找到方差最大的投影方向。	数据的协方差结构	强调信息量的最大保留。
t-SNE / UMAP	流形学习：保留数据点之间的局部邻域结构。	局部相似性	强调聚类效果和近邻关系。

总结：

当你得到 MDS 降维后的二维图时，如何解读它？

轴的意义（维度）：MDS 的坐标轴本身没有预设的意义（不像 PCA 的主成分）。你需要根据图上点的分布，人为地赋予轴意义。
- 例子：在饮料品牌定位图中，你可能会发现 X 轴代表“甜度高低”，Y 轴代表“功能性强弱”。
点的距离：图上两点之间的距离，就是它们在原始数据中的差异程度。
- 距离近：非常相似，可以视为同类或强竞争者。
- 距离远：差异很大，属于不同类别。
Stress 值：永远要关注 MDS 输出的 Stress 值。
- Stress < 0.10：拟合效果很好，低维图能很好地代表原始数据。
- Stress > 0.20：拟合效果较差，说明原始数据结构太复杂，用 2D 或 3D 很难准确表达，可能需要更高的维度或换用其他降维方法。