【题解】洛谷 P1169 [ZJOI2007] 棋盘制作 [思维 + dp]

P1169 [ZJOI2007] 棋盘制作 - 洛谷

我不会告诉你这道题我做了多久。

---

注意到数据范围，正解应该是  的时间复杂度。

单纯枚举长方形是 ，肯定是要做些什么前缀和 / 预处理来降低下的。

二维预处理后转移考虑 dp，整体要满足 “局部最优达成整体最优 / 整体最优能从局部最优继承”。

那应该怎么定义？

我就是在这一步走歪的，定义了 ：以  为右下角的最大合法矩阵的行范围和列范围。

但其实有一个很明显的问题：如果有面积相等的两个矩阵，应该选哪个？

由于后面的状态是否合法还要看当前状态的边界，所以说这样做是有后效性的。

所以这种方法从一开始就是错误的，这警示我们打一切 dp 之前都要仔细证明有无后效性。

（我就这样调了好久找不出错，，小数据都对 70 分。）

不管怎样，不能再以点作为结束点 / 边界了。

但是肯定是要有边界的，比如说以某一行 or 某一列。

这样转移下一行 / 列时边界对接都是固定的，不会产生后效性。

考虑以行作为边界，预处理 up 数组作为  往上（更小的行）可合法的格子数。

但这还不够，我们需要知道当前行合法的格子范围，于是再定义两个数组记录该行合法范围。

注意到一行的合法范围不止一段，那么再细节点，定义：

int lef[N][N], rig[N][N];
// lef[i][j]：第 i 行从 (i,j) 向左能延伸到的合法最左列（满足黑白交替）
// rig[i][j]：第 i 行从 (i,j) 向右能延伸到的合法最右列（满足黑白交替）

状态转移时，我们有：

// 如果不是第一行，且当前格与上方格颜色不同if(i > 1 && mat[i][j] != mat[i - 1][j]) {up[i][j] = up[i - 1][j] + 1;// 当前悬线可以向上延伸：高度 + 1lef[i][j] = max(lef[i][j], lef[i - 1][j]);// 左边界取当前行与上一行的更靠右者（取 max，因为 left 值越小越靠左）rig[i][j] = min(rig[i][j], rig[i - 1][j]);// 右边界取当前行与上一行的更靠左者（取 min，因为 right 值越大越靠右）}// 当前悬线能覆盖的横向宽度int width = rig[i][j] - lef[i][j] + 1;// 正方形边长受限于宽度和高度中的较小值int side = min(width, up[i][j]);// 更新最大正方形面积（边长平方）s_ans = max(s_ans, side * side);// 更新最大矩形面积（宽 × 高）r_ans = max(r_ans, width * up[i][j]);

发现这样转移出来的是个倒着的 “T” 字形，想要变成矩阵，还要满足：

// 预处理每行的 left：若当前格与左边格颜色不同，则可继承左边的左边界for (int i = 1; i <= n; i ++) {for (int j = 2; j <= m; j ++) if (mat[i][j] != mat[i][j - 1]) {lef[i][j] = lef[i][j - 1]; // 向左扩展}}// 预处理每行的 right：若当前格与右边格颜色不同，则可继承右边的右边界for (int i = 1; i <= n; i ++) {for (int j = m - 1; j >= 1; j --) if (mat[i][j] != mat[i][j + 1]) {rig[i][j] = rig[i][j + 1]; // 修正：应为 j+1，不是 j-1}}

即预处理时就要定义 lef 和 rig 是可以和上一行贴合的，保证后面每一次转移都合法。

就这样做完了，完整代码请翻到最后面。

关于这种状态转移比较诡异的 dp，我们其实有一个专门的算法：悬线法。

注释里也写了，up 数组就是 “悬线”。顾名思义，是从上面往下悬的一整列合法格子。

然后标准过程就如本题，预处理俩数组然后美美转移。

只要满足以下几点，就是悬线法题目：

（1）求最大子矩形
（2）合法性具有“垂直可继承性”（有悬线可处理）
（3）行内合法性可预处理（可降低时间复杂度）
（4）约束是局部的（相邻之间）

再使用点，以下三个问题都满足，即可用悬线：

1. 是不是在 0 / 1（或有限颜色）矩阵中找最大矩形？
2. “合法”是否只依赖相邻格子（上下左右）？
3. 数据范围是否允许 ？

完整代码：

// 代码来自本人，注释由千问 AI 生成 + 人工修改 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 2010;int mat[N][N];
// mat[i][j]：原始棋盘颜色（0/1）int lef[N][N], rig[N][N];
// lef[i][j]：第 i 行从 (i,j) 向左能延伸到的合法最左列（满足黑白交替）
// rig[i][j]：第 i 行从 (i,j) 向右能延伸到的合法最右列（满足黑白交替）int up[N][N];
// up[i][j]：从 (i,j) 向上能延伸的连续黑白交替格子数（即 "悬线" 高度）int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int n, m;cin >> n >> m; // 读入棋盘，并初始化 left / right / upfor (int i = 1; i <= n; i ++) {for (int j = 1; j <= m; j ++) {cin >> mat[i][j];lef[i][j] = rig[i][j] = j;   // 初始时左右边界都是自己up[i][j] = 1;                   // 初始高度为 1（仅当前格）}}// 预处理每行的 left：若当前格与左边格颜色不同，则可继承左边的左边界for (int i = 1; i <= n; i ++) {for (int j = 2; j <= m; j ++) if (mat[i][j] != mat[i][j - 1]) {lef[i][j] = lef[i][j - 1]; // 向左扩展}}// 预处理每行的 right：若当前格与右边格颜色不同，则可继承右边的右边界for (int i = 1; i <= n; i ++) {for (int j = m - 1; j >= 1; j --) if (mat[i][j] != mat[i][j + 1]) {rig[i][j] = rig[i][j + 1]; // 修正：应为 j+1，不是 j-1}}int s_ans = 0, r_ans = 0;    // 正方形面积和长方形面积 for (int i = 1; i <= n; i ++) {for (int j = 1; j <= m; j ++) {// 如果不是第一行，且当前格与上方格颜色不同if(i > 1 && mat[i][j] != mat[i - 1][j]) {up[i][j] = up[i - 1][j] + 1;// 当前悬线可以向上延伸：高度 + 1lef[i][j] = max(lef[i][j], lef[i - 1][j]);// 左边界取当前行与上一行的更靠右者（取 max，因为 left 值越小越靠左）rig[i][j] = min(rig[i][j], rig[i - 1][j]);// 右边界取当前行与上一行的更靠左者（取 min，因为 right 值越大越靠右）}// 当前悬线能覆盖的横向宽度int width = rig[i][j] - lef[i][j] + 1;// 正方形边长受限于宽度和高度中的较小值int side = min(width, up[i][j]);// 更新最大正方形面积（边长平方）s_ans = max(s_ans, side * side);// 更新最大矩形面积（宽 × 高）r_ans = max(r_ans, width * up[i][j]);}}cout << s_ans << "\n" << r_ans << "\n";return 0;
}