数据结构初识，与算法复杂度

前言

哎呀，前前后后，里里外外，我拖拖沓沓了快四个月，终于学完了C语言。

我只明白了一件事：学习，一定要多敲代码，一定要找一个安静（最好无人）的地方，一定要排除万难，一切为学习让步。

现在是2025年10月25日，16时6分，不说了，开干。

1、数据结构与算法

数据结构，是计算机存储、组织数据的方式，方式包括数据的增、删、查、改。

数据结构，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

算法，指的是一系列计算过程，用于将输入的一个（或一组）数据，经这个计算过程，输出一个（或一组）数据（结果）。

2、数据结构与算法的重要性

非常重要！非常重要！非常重要！

所以要好好学。

3、复杂度

3.1、复杂度的概念

我们知道，衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度出发。

即时间复杂度，和空间复杂度。

时间复杂度	空间复杂度
衡量一个算法的运行快慢	衡量一个算法所需要的额外空间的多少

3.2、复杂度的重要性

一句话：节约时间、节省空间、降低成本。

对于笔试面试，和实际开发，都有帮助。

3.3、时间复杂度

算法的时间复杂度，是一个函数T(N)，用于定量计算算法的运行时间。

那为什么，不直接跑一跑这个算法，然后记录从开始运行，到结束，这个真实时间，并拿来分析呢？有三点原因：

1. 编译环境（编译器）的更新迭代，会导致同一段代码，实际运行时间不同。
2. 机器的新旧，会导致同一段代码，实际运行时间不同。
3. 要知道这个真实时间，必须先运行代码，而不能通过一种理论，来提前判别。

话说回来。我们知道，写出来的代码，被编译为二进制可执行指令，而程序执行的过程，就是CPU执行这些指令。其中，某一条指令可能被执行一次，也可能被执行多次。所以：

$$程序的执行时间=二进制指令执行时间\ast 执行次数$$

举个例子：

//计算++count被执行的次数
void Func(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N; ++i){++count;}for (int i = 0; i < 2 * k; ++i){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}
}

不难得出：
$$T(N)=N^2+2\ast N+10$$
其中，N^2对==T(N)==的影响最大。

但实际上，如果单单是执行一条简单的指令，那运行时间就微乎其微了。而有些语句，随着输入参数的变化，它们执行的次数也会随之发生相应有规律的变化。因此，我们计算算法复杂度，只是想计算算法程序的增长量级，也就是当N不断变化（一般是增大）时T(N)的差别。

上面的例子中，我们不难看出，低阶项与常数项，对结果的影响很小，所以我们只需计算一个大概的执行次数。这时可以用大O的渐进表示法。

3.3.1、大O的渐进表示法

规则：

1. 时间复杂度函数式T(n)中，保留最高阶项。比如O(N^2)
2. 去掉最高阶项的常数系数。
3. 如果函数式中只有常数项，为O(1)。

3.3.2、几个例子

举几个我觉得不太好理解的例子。

例一：

void Func1(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; k++){count++;}for (int k = 0; k < N; k++){count++;}printf("%d\n", count);
}

在这里：

1. T(N) = M + N
2. 时间复杂度：O(M + N)
   • 当M == N，时间复杂度可以为O(M) O(N)
   • 当M >> N，时间复杂度O(M)
   • 当M << N，时间复杂度O(N)

例二：

const char* strchr (const char * str, char char)
{const char* p_begin = str;while (*p_begin != char){if (*p_begin == '\0')return NULL;p_begin++; }return p_begin;
}

在这里：

1. 当要查找的字符串在第一位，则T(N) = 1
2. 当要查找的字符串在中间位置，则T(N) = N/2
3. 当要查找的字符串在末尾，则T(N) = N

所以：

1. 最好情况（下界）：O(1)
2. 平均情况：O(N)
3. 最坏情况（上界）：O(N)

而大O的渐进表示法，一般关注上界，即最坏情况。

例三：

//冒泡排序
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

现在是2025年10月28日12时59分

在这里：

1. 当序列升序，O(N) = N
2. 当序列降序：

n 的取值	对应交换操作执行的次数
1	0
2	1
3	2
4	3
…	…
n	n - 1

不难得出，执行次数为N(N - 1)/2，时间复杂度为O(N^2)。

例四：

void func2(int n)
{int cnt = 1;while (cnt < n){cnt *= 2;}
}

可以看出，

当n = 2，执行次数为1；
当n = 4，执行次数为2；
当n = 8，执行次数为4；
……
所以此时的T(N) = logN （这里底数不重要，可由换底公式换成任意底），时间复杂度为O(logN)。

例五：

也就是函数递归算法的复杂度。

递归的复杂度 = 递归的次数 * 每次递归的时间复杂度

3.4、空间复杂度

3.4.1、概念浅析

由于函数运行所需的栈空间，在编译期间就已经开辟好了，所以空间复杂度主要讨论的是函数在运行时，申请的额外内存空间。

3.4.2、示例

例一：

void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

还是这个冒泡排序。不难看出，使用了常数个空间，空间复杂度为O(1)。

例二：

//计算阶乘的递归
long long Fac(int n)
{if (n == 0)return 1;elsereturn n*Fac(n - 1);
}

函数进行了n次递归，而每次递归申请了常数个空间，所以空间复杂度为O(N)。