CCUT应用OJ题解——贪吃的松鼠

题目简介

• 来源：1033 贪吃的松鼠 - CCUT应用OJ，魔改自 Leetcode 137. 只出现一次的数字 II。
• 题意：给定长度为 $(n-1)\times m+k$ 的正整数序列，其中 $n-1$ 个数出现 $m$ 次，有且仅有 1 个数出现 $k$ 次，输出这个出现 $k$ 次的数。
• 数据范围：$n\le 10^5,1<m\le 9,k<m$，序列值域上界为 $2^{30}$；时空限制：3s/256M
• 注：若无特殊说明，博主的代码模板如下。博主通过定义solve函数处理多组测试用例。博主在后文均只给出solve函数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
#define ln '\n'
#define fi first
#define se secondint main() {ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);while(cin>>...){//此处即为处理多组测试用例，...换为实际输入变量solve();}return 0;
}

题解

朴素想法

定义权值数组 $cnt[i]$，用于统计 $i$ 的出现次数，之后遍历 $cnt$ 数组，找出出现 $k$ 次的元素并输出即可。
但由于序列值域上界高达$2^{30}$，以 $\text{int}$ 型数组为例，需约 $4\text{GB}$ 内存，因此无法开下这么大的数组。此想法不可行。

解法1：哈希表

如果你学过 C++，那么则可使用 unordered_map一发AC。

void solve(){unordered_map<int, int> cnt;int id;for (i64 i = 0; i < 1LL * m * (n - 1) + k; i++) {cin >> id;cnt[id]++;}for (auto i : cnt) {if (i.se != m) {cout << i.fi << ln;break;}}
}

解法2：二进制优化

• 核心思想：若除了一个数以外，其余数都出现了相同次数(设 $m$ 次)，则可通过统计二进制每一位上 $1$ 的出现次数，并对 $m$ 取模，从而得到那个特殊数。
• 数学证明：
  • 考察整数$x_i$，将其按二进制进行位权展开(由于题中值域上界为$2^{30}$，故$31$位足够表示)：xi=∑j=030bi,j⋅2j,bi,j∈{0,1}x_i = \sum_{j=0}^{30} b_{i,j} \cdot 2^j, \quad b_{i,j} \in \set{0,1}xi​=∑j=030​bi,j​⋅2j,bi,j​∈{0,1}
  • 统计每一位上 $1$ 出现的次数：$A_j={\sum }_{i=1}^{m(n-1)+k}{b}_{i,j}$，其可被拆为两部分：$A_j=\underset{\text{出现 m 次的数贡献}}{\underbrace{\sum _{x\in S_m}m\cdot b_{x,j}}}+\underset{\text{出现 k 次的异常数贡献}}{\underbrace{k\cdot b_{x^{\ast },j}}}$
  • 模运算具有如下性质：$(a+b)\mathrm{mod}m=((a\mathrm{mod}m)+(b\mathrm{mod}m))\mathrm{mod}m$，因此通过取模即可将异常数的贡献保留。
  • 对每一位计数 $A_j\mathrm{mod}m$：$A_j\mathrm{mod}m=({\sum }_{x\in S_m}m\cdot b_{x,j}+k\cdot b_{x^{\ast },j})\mathrm{mod}m$，并且 $m\cdot b_{x,j}\equiv 0(\text{mod }m)$ 对任何 $b_{x,j}\in 0,1$ 都成立。故得：$A_j\mathrm{mod}m=(k\cdot b_{x^{\ast },j})\mathrm{mod}m$
  • 由于题目给出 $k<m$，故：
    $$k\cdot b_{x^{\ast },j}\mathrm{mod}m=\{\begin{array}{ll}0,& b_{x^{\ast },j}=0\\ k,& b_{x^{\ast },j}=1\end{array}$$
    得证。

也就是说，模运算把“其他所有出现 m 次的数”完全消掉，只剩下那个出现 k 次的数的二进制痕迹。将其转换为十进制，即为最终答案。

void solve(){int a[35]={0};for(int i = 0;i < m * (n-1) + k ; i++){int num;scanf("%d",&num);for(int j = 0; j < 31; j++){if(num & (1 << j)) a[j] ++; // 循环左移，统计二进制中每一位上1的出现情况a[j] %= m;// 边统计边取模，防止爆了}}int ans = 0;for(int j = 0;j < 31;++j)if(a[j] != 0) ans += pow(2,j); // 还原出异常值即可printf("%d\n",ans);
}