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《自动控制原理》第 3 章线性控制系统的运动分析：3.6、3.7

news 2025/10/28 11:24:59

3.6 线性控制系统的稳态误差

一个稳定的线性控制系统，在输入信号作用下的输出响应当暂态过程结束后，就进入与初始条件无关，而仅由输入信号所决定的稳态响应过程。

控制系统在稳态响应过程中的精度如何，这是系统的一项重要性能指标。
通常用稳态响应过程中输出量的希望值与实际值之差来度量，这个误差称为系统的稳态误差。

显然稳态误差越小，系统的稳态精度就越高。

理想的情况是，系统输出量的实际值等于它的期望值，使稳态误差等于零从而实现精确的控制。但在实际中这是很难实现的，严格地说实际系统的稳态误差总是难以避免的。影响系统稳态误差的因素很多，大体上可分为两类：

一类是由元器件的非线性因素（如静摩擦、间隙、不灵敏区等）以及产品质量（如放大器的零点漂移、元件的老化）等引起的稳态误差，通常称为结构性稳态误差；
另一类是由线性控制系统的结构、参数以及输入信号的形式和大小所引起的稳态误差，称为原理性稳态误差。

本节所要讨论的是，线性控制系统的原理性稳态误差（简称系统的稳态误差）的变化规律及其计算方法。

控制系统的输入信号可分为两种类型：

参考输入信号；
扰动信号；

相应地，控制系统的稳态误差可分为：

跟踪稳态误差；
扰动稳态误差；

两个部分。

跟踪稳态误差：是不考虑扰动作用，而仅由参考输入信号所引起的稳态误差。
通常用这一稳态误差来衡量随动控制系统的输出量跟踪参考输入信号变化的稳态性能，故称为跟踪稳态误差。
扰动稳态误差：是不考虑参考输入信号，而仅由扰动作用所引起的稳态误差。
对于恒值控制系统，其参考输入信号一经整定好后就保持不变，故通常用扰动稳态误差来衡量恒值控制系统的稳态性能。

作用于实际系统的输入信号，往往既有参考输入信号又有扰动作用，只要应用叠加原理将分别求得的跟踪稳态误差和扰动稳态误差叠加在一起，就可求得该系统的稳态误差。由于这两部分稳态误差的变化规律和分析计算方法是相类似的，故下面的讨论以跟踪稳态误差为主。

讨论的前提条件是系统必须稳定，因为不稳定的系统不存在稳态响应，更谈不上稳态误差的问题。

3.6.1 跟踪稳态误差

系统的跟踪误差：参考输入（参考输出）值与实际输出值之间的差。
在输入端定义： $e_{r}(t)=r(t)-y(t)$ ——参考输入-实际输出
在输出端定义： $e_{r}(t)=y_{0}(t)-y(t)$ ——期望输出-实际输出
当H(s)=1，单位负反馈时，2种定义一致，参数输入 <==>期望输出

一般来说，系统的跟踪误差可分解为两个分量：

暂态分量 $e_{tr}(t)$ ；
稳态分量 $e_{sr}(t)$ ；

由于讨论稳态误差的前提是系统必须稳定，故当t趋于无穷时， $e_{tr}(t)$ 必趋近于零。

因而控制系统的稳态误差指的是，当t足够大时系统误差的稳态分量 $e_{sr}(t)$ 。

（1）跟踪稳态误差的基本变化规律

由式(3.117)可见：跟踪稳态误差与系统的结构和参数（即开环传递函数Gk(s)）以及输入信号的形式和大小有关。其中输入信号的常用典型形式为阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数。它们均可用时间t的多项式来表示，通常称之为多项式输入信号，其一般表达式为

分析式(3.120)可以看到：

（1）跟踪稳态误差与系统类型v、开环增益K以及输入信号的形式和大小有关

系统的开环增益K和在坐标原点上开环极点的重数v，反映了控制系统的结构与参数对系统跟踪稳态误差的影响。如果系统存在跟踪稳态误差，则其值与开环增益近似成反比，K越大跟踪稳态误差就越小。

与暂态性能不同，系统的稳态性能与开环传递函数的分子和分母的阶次m和n无关。

【系统类型】

在多项式输入信号作用下，系统在坐标原点上开环极点的重数v与跟踪稳态误差之间的关系为：
① 若v=p，则式(3.120)的分子与分母的s的幂次项将互相对消，跟踪稳态误差为一有限值。
这表明v=p时系统的输出量可以跟踪多项式输入信号的变化,但存在一定的稳态误差；
② 若v>p，则式(3.120)分子的s的幂次项的幂次高于分母的，对消后分子仍含有s 的幂次项，因而系统的跟踪稳态误差为零。
这表明v>p时系统的输出可以无稳态误差地跟踪多项式输入信号的变化；
③ 若v<p，则式(3.120)分母的s的幂次项的幂次高于分子的，对消后分母仍含有s的幂次项，这时系统的跟踪误差将随着时间的推移而不断地增长，当t→∞时其终值误差可达无穷大。
这表明v<p时系统的输出量无法跟踪多项式输入信号的变化。

由此可见：

在多项式输入信号作用下（随动输入），系统是否存在跟踪稳态误差，取决于在坐标原点上开环极点的重数（即开环串联积分环节的阶数）v。
故从稳态性能出发，可以根据v对系统进行分类并定义系统类型为，闭环系统可以跟踪的多项式输入信号的最高次数。
如果开环具有v阶积分环节，则系统可以跟踪p=v次的多项式输入信号，故称该系统为v型系统。

其具体含义是：

若v=0，Gk(s)没有在坐标原点上的开环极点，则该系统为0型系统，这意味着它只能跟踪0次多项式输入信号（阶跃函数），而不可能跟踪p>0的高次多项式输入信号（如一次多项式输入信号的斜坡函数和二次多项式输入信号的抛物线函数等）；
——恒值控制系统
若v=1，Gk(s)在坐标原点处有一开环极点，则该系统为Ⅰ型系统，这意味着它能跟踪一次多项式输入信号（斜坡函数），而对于p<1的0次多项式输入信号（阶跃函数）可实现无稳态误差的跟踪，对于p>1变化更快的信号（如2次多项式输入信号的抛物线函数等）便无法跟踪；
其他系统类型的含义可依此类推。

因此，在某种特定类型的多项式输入信号的作用下，系统是否存在跟踪稳态误差，主要取决于系统类型v。

PID：

P：比例控制
I：添加积分环节——改善稳态性能。
D：添加微分环节——改善暂态性能。

电机控制的暂态性能较好，主要在于稳态控制精度，故常用“PI控制算法”。

【注意】
从提高系统的控制精度出发，显然提高系统类型v是有利的（添加更多积分环节）。
但v的过分增大，将导致暂态性能的恶化甚至使系统不稳定。
通常v不宜超过2，除了航天控制系统外，Ⅲ型和Ⅲ型以上系统几乎不采用。

由式(3.120)可知：

系统开环传递函数Gk(s)所含串联积分环节的阶数v，与误差传递函数 $\Phi _{e}(s)$ 所含在坐标原点上零点的重数是相同的，因此也可根据 $\Phi _{e}(s)$ 在坐标原点上的零点重数，来确定系统类型。
有时又称v为系统的无差度，即v型系统为具有v阶无差度的系统。

（2）消除系统稳态误差的基本原理——内模原理

设外部输入信号r(t)为p次多项式输入函数，相应的（如式(3.119)所示）。若使开环传递函数，所含积分环节的阶数v≥p+1（即v>p），则由式(3.120)可得系统无跟踪稳态误差。

由式(3.118)～式(3.120)可见，控制系统之所以能够消除稳态误差，其基本原理就在于：
系统内部的模型含有外部输入信号模型的信息；
或者说，将外部输入信号的极点“编入"系统的开环极点中，使得误差传递函数所含在坐标原点上的v阶零点，可以和输入信号的极点产生零极相消，从而使系统无稳态误差。
这种消除稳态误差的基本原理称为内模原理。

（2）跟踪稳态误差的计算方法

控制系统的跟踪稳态误差可分为两种类型：

稳态误差为一常值（包括零）；
稳态误差为随时间变化的函数；

相应地，稳态误差的计算方法也有两类：
一类
基于终值定理的误差系数法（这是工程上常用的计算方法）；
闭环传递函数分析法；
二类
基于误差级数的广义误差系数法；

现分别讨论如下。

① 误差系数法

由式(3.121)求出的稳态误差，实际上是t趋于无穷时，稳态误差的终值，即系统的终值误差。因此只有当系统的稳态误差为一常值（包括0），即稳态误差与终值误差相等时，应用式(3.121)求稳态误差才有意义。

也就是说，只有当终值定理的前提条件得到满足，即sEr(s)的极点都分布在左半开平面上时，应用式(3.121)求跟踪稳态误差才是有效的。

如果sE(s)的极点没有分布在右半平面上，但在虚轴上有位于坐标原点上的极点时，严格地说是不能运用终值定理来计算稳态误差的，如果使用将得到稳态误差为无穷大的结果。然而这一无穷大的结果，恰好与实际稳态误差当t趋于无穷大时的结果相一致。

故在工程上为了应用方便，将这种情况作为特例仍使用终值定理来计算。

但应注意：这时求得的只是（稳态）终值误差，而不是跟踪稳态误差的完整表达式；其含义是系统的跟踪稳态误差，将随时间的推移而不断地增长，当t→∞时，其终值误差趋于无穷大。

大多数系统的输入信号可以用典型的多项式输入信号：阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数以及它们的线性组合来表示。若取R(s)为典型的多项式输入信号，由式(3.121)则可导出在工程上常用的计算稳态误差的误差系数法。

当输入信号为阶跃函数时

由式(3.123)可见：

系统跟踪单位阶跃输入信号时，稳态误差完全取决于Kp的大小。
故称Kp为系统的阶跃误差系数。（位置误差系数：position）

当输入信号为斜坡函数时

由式(3.125)可见：

系统跟踪单位斜坡输入信号时，稳态误差完全取决于Kv的大小。
故称Kv为系统的斜坡误差系数。（速度误差系数：velocity）
（位置→微分→速度→微分→加速度）

当输入信号为抛物线函数时

由式(3.127)可见：

控制系统跟踪单位抛物线输入信号时，稳态误差完全取决于Ka的大小。
故称Ka为系统的抛物线误差系数。（加速度误差系数：acceleration）

由式(3.122)～式(3.127)，则可求得在典型输入信号作用下，各型系统的跟踪稳态误差和相应的误差系数值，见表3.10。

注：此表是跟踪稳态误差的表，针对参数输入信号。

由表可以看到：

对于0型控制系统
其阶跃误差系数等于系统的开环增益(即Kp=K)，而Kv=Ka=0，故它只能跟踪阶跃输入信号，但有稳态误差。（0型系统跟踪阶跃输入信号时，存在常值误差）
其值与Kp（或开环增益K）大致成反比，而与输入信号的跃变幅度成正比。
通常称跟踪阶跃输入信号有稳态误差的系统为有差系统，故0型系统为有差系统，它无法跟踪变化更快的输入信号（如斜坡信号或抛物线信号），如果勉强使用，其跟踪误差将随时间而不断地增长，当t→∞时终值误差可达无穷大，如表3.10中第一行所示；
对于Ⅰ型控制系统
其Kp=∞，故它可无稳态误差地跟踪阶跃输入信号。
通常称跟踪阶跃输入信号无稳态误差的系统为无差系统，故v≥1的各型系统都是无差系统。
并称Ⅰ型系统为1阶无静差系统，Ⅱ型系统为2阶无静差系统，余可类推。
Ⅰ型系统的斜坡误差系数等于系统的开环增益（即Kv=K），故它跟踪斜坡信号有稳态误差，其值与Kv（或开环增益K）成反比，与输入信号变化的速度成正比。
Ⅰ型单位反馈系统对斜坡输入的典型响应曲线如图3.35所示。
而Ka=0，即Ⅰ型系统无法跟踪抛物线输入信号，如果勉强使用,其跟踪误差将随时间不断地增长，当t→∞时，终值误差将达无穷大，如表3.10中第二行所示；
对于Ⅱ型控制系统
Kp=Kv=∞，故它对阶跃信号和斜坡信号而言均为无差系统。
而Ka=K，这表明Ⅱ型系统可以跟踪抛物线信号但有稳态误差，其值与Ka（或开环增益K）成反比，与输入信号的变化加速度成正比，如表3.10中弟二行所示。
Ⅱ型单位反馈系统对抛物线输入的典型响应曲线如图3.36所示；
对于Ⅲ型控制系统
由于Kp=Kv=Ka=∞，只要系统稳定，其稳态输出能准确地跟踪阶跃信号、斜坡信亏和抛物线信号以及由它们的线性组合所构成的任何输入信号。
但是v=3，系统很可能不稳定，此时系统的稳态性能与系统的稳定性冲突。

而且由表3.10可见：
就同一典型输入信号而言，系统类型v越高，稳态误差就越小；
就同一型控制系统而言，输入信号变化越剧烈，稳态误差就越大。

【说明】系统的稳态误差为∞ ≠ 系统不稳定
系统稳态误差为∞：指在特定变化率的输入信号的作用下，系统的输出的变化跟不上输入的变化的现象。
输入变化太快，导致输出值越来越达不到预期，稳态误差逐渐加大到∞；
系统不稳定：系统的内在属性，在任意输入信号的作用下，输出值发散不收敛。

② 闭环传递函数分析法

……

③ 广义误差系数法

……

（3）非单位反馈系统的跟踪稳态误差

……

3.6.2 扰动稳态误差

扰动稳态误差的大小反映了系统抗干扰的能力。理想的情况是：任意形式的扰动作用，所造成的扰动稳态误差恒为零，从而在稳态时，系统的输出量始终保持在期望值上而不受扰动的影响，即系统具有很强的抗干扰能力。这是我们所追求的，然而在实际系统中往往难以实现。

虽然扰动信号和参考输入信号都是系统的输入量，但由于它们对系统作用的性质不同，作用于系统的位置也不同，因此扰动稳态误差与跟踪稳态误差的特性也有所不同。即使系统对于某种形式参考输入信号的稳态误差为零，但对于同一形式的扰动作用其稳态误差未必也为零。——所以之前强调表3.10是跟踪稳态误差的表，针对参数输入信号。

然而扰动稳态误差的分析计算方法，与跟踪稳态误差的相类似，也可分为两类：

基于终值定理的计算法；
基于扰动误差级数的广义误差系数法；

在上一小节讨论的基础之上，下面将着重说明系统扰动误差的基本变化规律及其基本计算方法。

（1）扰动稳态误差的基本变化规律与基于终值定理的计算方法

线性控制系统的扰动误差定义为，在扰动作用下，输出的希望值与实际值之差。

而扰动所造成的输出变化，总是不希望有的，故其希望值恒为零。

于是由图3.41可得系统的扰动误差为

上式表明：
扰动误差传递函数具有(v1+v3)个在坐标原点上的零点。
其中：
v1为扰动作用点之前的通向通道所含积分环节的阶数；
v3为系统主反馈通道所含积分环节的阶数；

系统类型

分析式(3.138)和式(3.139)可以看到：

若多项式扰动信号的次数k等于在坐标原点上零点的重数（即k=v1+v3）时，则系统的扰动稳态误差为一有限值；
若k<v1+v3时，则系统无扰动稳态误差；
若k>v1+v3时，则系统的扰动误差将随着时间而不断地增长，当t→∞时，其扰动终值误差将达无穷大，系统无法工作。

与参考输入信号作用下系统类型的定义相类似，可定义在扰动作用下系统类型为：
闭环系统的扰动稳态误差为一有限值时，所容许的多项式扰动信号的最高次数。

由上述分析可见：如果在扰动作用点之前的前向通道含有v1阶积分环节，主反馈通道含有v3阶积分环节，则对扰动作用而言可称该系统为(v1+v3)型系统。

输入信号作用下，系统的型取决于v=v1+v2+v3。
扰动信号作用下，系统的型取决于v1+v3。

差异来源于位置的不同。

以v1+v3=1为例，其含义是[见式(3.138)]：

在扰动误差传递函数的分子，含有1个在坐标原点上的零点，于是该闭环系统对扰动信号而言为Ⅰ型系统；
在1次多项式扰动信号作用下，其扰动稳态误差为一有限值，由式(3.138)可求得其值为
在k<1，即0次多项式扰动信号（阶跃函数）作用下，系统无扰动稳态误差；
而在k>1变化更快的扰动信号（如2次多项式扰动信号抛物线函数）作用下，其扰动终值误差将趋于无穷大，系统无法工作。

当v1+v3为别的值时，系统类型的含义可依此类推。

消除系统扰动稳态误差的基本原理——内模原理

一般来说，若对扰动作用而言，控制系统为μ型的（即μ=v1+v3），则当多项式扰动信号的次数k低于μ时，系统无扰动稳态误差。

由式(3.136)～式(3.139)可见，控制系统之所以能够消除扰动稳态误差，与跟踪稳态误差的一样，其基本原理为内模原理。
即系统内部的模型含有扰动信号模型的信息；
或者说，将扰动信号的极点“编入”系统的开环极点中，使得扰动误差传递函数含有在坐标原点上p阶零点，可以和扰动信号的极点产生零极相消，从而实现无扰动稳态误差。

分析式(3.136)～式(3.140)可以看到：

控制系统的扰动稳态误差与系统类型、开环增益以及扰动信号的形式和大小有关。

其中系统类型，对于不同的输入信号（参考输入信号或扰动作用）并不一样。

对扰动作用而言，系统类型取决于扰动作用点之前的前向通道所含积分环节的阶数v1和主反馈通道所含积分环节的阶数v3之和，而与扰动作用点之后前向通道所含积分环节的阶数v2无关。
- 若控制系统为μ型的（即v1+v3=μ），则对于k<μ次的多项式扰动信号，系统无扰动稳态误差；
- 对于k>μ次的多项式扰动信号，其扰动终值误差将趋于无穷大，系统无法工作；
- 对于k=μ次的多项式扰动信号，系统的扰动稳态误差为一有限值，其值与扰动作用点之前的前向通道增益(K1)和主反馈通道增益(K3)的乘积K1K3成反比，而与扰动作用点之后前向通道的增益K2几乎无关[如式(3.140)所示]。

（2）基于扰动误差级数的广义误差系数法

……

3.7 反馈控制的作用与闭环系统的基本控制律：PID控制

本节将讨论控制系统分析与综合中的两个基本问题：

一是为什么全书都以反馈控制系统为主要的讨论对象、并以反馈控制原理作为自动控制的基本原理？

虽然第1章1.2和1.3节已对此作了说明，但它仅仅是定性的，为了加深对这个重要机理的理解，本节将定量地分析反馈控制的作用及其优越性，并阐明自动控制系统的基本组成原理以及影响系统控制精度的主要因素和构建高精度控制系统的基本思路；

二是仅仅引入负反馈构成闭环系统，控制系统的性能往往难以满足期望的技术要求。那么改善控制系统性能的基本手段，即控制器常用的基本控制（规）律是什么？

现对这两个问题分别讨论如下。

3.7.1 反馈控制的作用与控制系统灵敏度的分析

……

3.7.2 闭环控制系统的基本控制律：PID控制

由上面分析可以看到，在工程控制系统中：

暂态响应的快速性与平稳性对系统参数的要求往往是矛盾的(如例3.18所示)；
暂态性能、稳定性、稳态性能对参数的要求也往往是矛盾的(如例3.24所示)；

因此仅仅引入反馈控制构成闭环系统，控制系统的性能往往难以满足现代工程的要求。

改善控制系统性能的基本手段是，在反馈控制的基础上，引入能提供满意（或最优）控制信号的控制器。

单回路工程系统的典型结构图如图3.46所示。

其中控制器的功能是：对偏差信号e(t)进行运算和变换，并形成满意的控制信号u(t)，作用于受控对象，从而使系统的输出能按照预定的规律变化并获得满意的控制性能。
控制器输出的控制信号的变化规律又称为系统的控制规律（简称控制律）。
目前工程上常用的是对偏差信号进行比例、积分、微分运算，故控制系统的基本控制律为比例+积分+微分控制，简称PID控制。
实现PID运算的控制器，相应地称为PID控制器（或PID调节器）。

在实际应用中，比例、积分和微分控制可根据工程系统的不同要求进行不同的组合，从而构成不同的控制律。

下面就基本的PID控制律的特点及其对改善系统特性的作用，分别讨论如下。

（1）比例（P）控制

分析式(3.160)可以看到：

在控制系统中使用比例控制，只要被调量偏离其给定值，控制器就能及时地产生一个与偏差e(t)成比例的控制信号u(t)作用于受控系统来消除偏差。
由于比例控制的这种及时控制作用，故在实际控制系统中通常都含有比例控制环节；
但由于这时可调参数只有一个Kp，因而系统性能的改善很有限。

例如：

若降低比例增益Kp，可使阻尼比 $\zeta$ 增大，但却使自然频率 $\omega _{n}$ 和系统的开环增益降低，改善了暂态响应的平稳性，但却降低了暂态响应的快速性和稳态控制精度；
——开环增益K与稳态误差 $e_{r}$ 成反比
若增大Kp，可提高 $\omega _{n}$ 和系统的开环增益，但却使 $\zeta$ 减少，提高了系统响应的速度和稳态控制精度，但却使暂态响应的平稳性变差、振荡加剧。

【纯比例调节的缺陷】
因此仅用一个可调参数Kp来调节两个特征量 $\zeta$ 和 $\omega _{n}$ 难免顾此失彼。
故纯粹的比例控制器，只适用于对系统性能要求不高的一般控制系统。
比例控制的另一不足之处是，它的控制作用是以存在偏差（e(t)）作为前提条件的，没有偏差就没有比例控制作用。
因此只使用比例控制器的系统，往往难于实现无稳态误差。

（2）比例积分（PI）控制

相应的控制器输入输出特性曲线如图3.47(a)所示。

起始时，比例控制使输出跳变至KpE，而积分控制则使输出随时间线性地增长。

当t=T1时，输出u(t)=2KpE。因而可将积分时间常数Ti定义为，在阶跃偏差输入作用下PI控制器的输出达到比例控制时输出的两倍所经历的时间。

由此可见：积分时间常数Ti的大小表征积分作用的强弱，Ti越小，积分速度便越快，积分控制作用就越强；Ti越大，积分控制作用就越弱；当Ti=∞时积分作用消失。

如果偏差信号为一般的形式，由式(3.161)则可求得u(t)随时间的变化曲线，如图3.47(b)所示。

积分控制的特点

积分控制与比例控制的显著差别在于：
比例控制器的输出只取决于输入偏差信号现时刻的值；
而与积分控制作用相对应的输出，不仅取决于输入偏差信号e(t)现时刻的值，而且还与e(t)过去时刻的值有关，是输入偏差信号在现时刻以前全部过去时间内积累的结果。
只要有偏差，控制器输出就不断地变化；
偏差存在的时间越长，输出的变化量就越大；
当输入偏差信号为零时，其输出就不再变化，但是能够维持在某一恒值上，故积分控制作用的优点是力图消除稳态误差。
在阶跃输入信号（参考输入信号R(s)或扰动信号D(s)）作用下，闭环控制系统采用PI控制器可以没有稳态误差。

比例积分控制律将比例控制反应快与积分控制能消除稳态误差的优点结合在一起，故在实际中得到了较广泛的应用。

积分控制的缺点

积分控制作用是随时间逐步积累的（如图3.47所示），动作迟缓，对系统暂态特性不利，甚至可能造成系统不稳定。

例如图3.46所示的系统，设

若控制器采用单一比例控制，则闭环传递函数为二阶的，系统总是稳定的；
若控制器采用单一积分控制，设，则系统的特征方程为系统变为不稳定的。
故通常积分控制不单独使用。
若与比例控制相结合构成比例积分控制时，设控制器的传递函数如式(3.161)所示，则闭环系统的特征方程为

由劳斯判据可得，系统稳定的充要条件为Ti>T。因此只要适当地选择控制器的参数，便可使系统稳定。

在比例积分控制时可调参数有两个，Kp和Ti，适当地加以选择，就有可能使系统稳定而且具有较
好的暂态与稳态性能。

（3）比例积分微分（PID）控制

如果在上述比例积分控制的基础上，再引入一个微分控制项，则构成比例＋积分＋微分控制，简称PID控制。

比例积分微分控制律的数学表达式为

相应的PID 控制器的传递函数为

式中，Td称为微分时间常数。

微分控制

在微分控制中，控制器输出信号的变化量与输入偏差信号的变化速度成正比

微分时间常数Td越大，微分控制作用就越强；若Td=0，则微分控制作用消失。

微分控制的特点是：能在偏差信号出现或变化的瞬间，立即根据变化的趋势产生超前的“预见”调节作用，以改善系统的暂态特性。

例如对于惯性较大的受控对象，当受到扰动作用后，初始时刻系统的偏差信号值很小。若采用比例控制，则初始时刻偏差值很小，控制作用就很小，只有等到偏差增大后控制作用才能增强，使得系统的控制过程缓慢（“迟滞”），控制品质不佳；

若引入微分控制则可发挥微分控制的优点产生超前的“预见"控制作用，即按偏差信号的变化速度进行控制，在初始时刻偏差很小时能提前增强控制作用以改善系统的性能。

而由式(3.163)可见，当偏差存在，但不变化时，控制作用为零。

故微分控制不能单独应用，必须与比例控制或比例积分控制结合使用。

比例微分控制

将比例控制与微分控制组合一起，则构成比例微分(PD)控制。比例微分控制器的传递函数为

微分控制的缺点

微分控制的缺点是对噪声干扰信号较敏感。在噪声干扰显著的场合就不宜单独使用比例微分控制。由于比例微分控制对突变信号的响应较强烈，故它的设置方式有两种：

一是将比例微分控制器设置在前向通道上，如图3.49(a)所示，当参考输入信号发生阶跃变化时将引起控制信号产生强烈的初始脉冲；
另一种是将微分控制项设置在反馈回路上，系统的结构图如图3.49(b)所示，这时系统的参考输入信号并没有受“微分项”的微分作用，故当参考输入发生突变时则可得到较为平稳的控制器输出信号。

如果图中Kd=KpKt，则这两种设置方式的系统特征方程相同，但闭环传递函数零点不一样。

比例积分微分控制

如果对系统的暂态性能和稳态精度均提出较高要求时，则可将比例、积分和微分控制组合在一起使用。相应的PID控制器的传递函数如式(3.162)所示。

它综合比例、积分和微分控制作用的各自优点，取长补短、互相配合，而且可调的参数有三个Kp、Ti和Td，只要参数整定恰当就可获得较好的控制质量。

因此，PID控制是一般工程系统取得满意控制的基本控制律。

现以图3.46所示的闭环控制系统为例，略加说明。大多数工业过程的传递函数，往往可用二阶带纯滞后来表示，即

PPT课件

3.6

分子因为除了s^v+1幂次项，还有R(s)与s有关（1/s、1/s^2、……），所以分子不能直接为0。

跟踪稳态误差与输入信号的类型和大小有关：a/s^p，a表示大小，p表示类型。

【注意】
$R_{1}(s)=\alpha _{0}s^{p-1}+...+\alpha _{p-1}$
在t域多项式的阶数是p-1（p），在s域就是p阶极点（p+1）。
1阶（指含一个积分环节）随动控制系统的跟踪性能：
无差跟踪0阶多项式输入（恒值输入），在s域有1阶极点；
有差跟踪1阶多项式输入，在s域有2阶极点；
无法跟踪2阶多项式及以上的输入，在s域有高阶极点。

实例：

若系统 $G_{k}(s)=\frac{1}{Ts+1}$ 在输入单位阶跃信号时，存在稳态误差。
可以引入一个积分环节， $G_{k}(s)=\frac{1}{s(Ts+1)}$ 。
看到表中，引入一个及以上的积分环节都能消除稳态误差，引入两个行不行？
过多的积分环节，会导致系统不稳定：
- $G_{k}(s)=\frac{1}{s^{2}(Ts+1)}$ ；
- $\Delta =Ts^{3}+s^{2}+K$ ；
- 缺项为0s这一项，系数为0，根据劳斯判据，系统不稳定；