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《算法闯关指南：优选算法--前缀和》--25.【模板】前缀和，26.【模板】二维前缀和

news 2025/10/28 6:40:56

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文章目录

前言：
25.【模板】前缀和
- 解法（前缀和）：
- - 算法思路：
- C++算法代码：
- 算法总结&&笔记展示：
26.【模板】二维前缀和
- 解法：
- - 算法思路：
- C++算法代码：
- 算法总结&&笔记展示：
结尾：

前言：

聚焦算法题实战，系统讲解三大核心板块：优选算法：剖析动态规划、二分法等高效策略，学会寻找“最优解”。递归与回溯：掌握问题分解与状态回退，攻克组合、排列等难题。贪心算法：理解“局部最优”到“全局最优”的思路，解决区间调度等问题内容以题带点，讲解思路与代码实现，帮助大家快速提升代码能力。

25.【模板】前缀和

题目链接：

【模板】前缀和__牛客网

题目描述：

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题目示例：

解法（前缀和）：

算法思路：

先预处理出来一个 【前缀和】 数组：用 dp[i] 表示：【1，i】 区间所有元素的和，那么 dp[i-1] 里面存的就是 【1，i-1】 区间内所有元素的和，那么：可得递推公式：dp[i]=dp[i-1]+arr[i] ；
使用前缀和数组，【快速】求出【某一个区间内】所有元素的和：当询问的区间是【l，r】时：区间内所有元素的和为：dp[r]-dp[l-1] 。

C++算法代码：

#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;int main() {//1.输入数据int n=0,m=0;cin>>n>>m;vector<int> arr(n+1);for(size_t i=1;i<=n;i++) cin>>arr[i];//2.预处理一个dp数组vector<long long> dp(n+1);//防止溢出for(size_t i=1;i<=n;i++) dp[i]=dp[i-1]+arr[i];//3.使用前缀和数组int l=0,r=0;while(m--){cin>>l>>r;cout<<dp[r]-dp[l-1]<<'\n';}return 0;
}
// 64 位输出请用 printf("%lld")

算法总结&&笔记展示：

笔记字有点丑，大家见谅：
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26.【模板】二维前缀和

题目链接：

【模板】二维前缀和__牛客网

题目描述：
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题目示例：

解法：

算法思路：

类比于一维数组的形式，如果我们能处理出来从【0，0】位置到【i，j】位置这片区域内所有元素的累加和，就可以在 O(1) 的时间内，搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和。因此我们需要接下来仅需要完成下面两步即可：
第一步：搞出来前缀和矩阵
这里就要用到一维数组里面的扩展知识，我们要在矩阵的最上面和最左边添加上一行和一列0，这样我们久可省去非常多的边界条件的处理，处理后的矩阵就像下面这样：
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这样，我们填写前缀和矩阵数组的时候，下标直接从 1 开始，能大胆使用 i-1，j-1 位置的值。

注意： dp 表与原数组 martix 内的元素的映射关系：

从 dp 表到 martix 矩阵，横纵坐标减一；
从 martix 矩阵到 dp 表，横纵坐标加一；

前缀和矩阵中 sum[i][j] 的含义，以及如何递推二维前缀和方程

sum[i][j] 表示，从【0，0】位置到 【i，j】位置这段区域内，所有元素的累加和。对应下图的红色区域：

递推方程：
其实这个递推方程非常像我们小学做过的求图形面积的题，我们可以将【0，0】位置到【i，j】位置这段区域分解成下面的部分：

sum[i][j] = 红 + 蓝 + 绿 + 黄，分析一下这四块区域：
黄色部分最简单，它就是数组中的 martix[i-1][j-1](注意坐标的映射关系)
单独求蓝色不好求，因为它不是我们定义的状态表示中的区域，同理，单独的绿也是；
但是如果是红+蓝，正好是我们 dp 数组中 sum[i-1][j] 的值；
同理，如果是红+绿，正好是我们dp数组中 sum[i][j-1] 的值；
如果把上面求的三个值加起来，我们会发现多算了一块红色的，因此直接再单独减掉就可以了那就是 黄+(红+蓝)+(红+绿)-红 ；
红的面积正好也是符合 dp 数组的定义的，即 sum[i-1][j-1]。

综上所述，我们的递推方程就是：
sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + martix[i-1][j-1]

第二步：使用前缀和矩阵
题目的接口中提供的参数是原始矩阵的下标，为了避免下标映射错误，这里直接先把下标映射成 dp 表里面对应的下标：row1++，col1+=,row2++,col2++
接下来分析如何使用这个前缀和矩阵，如下图(注意这里的 row 和 col 都处理过了，对应的是 sum 矩阵中的下标)：
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对于左上角（row1，col1），右下角（row2，cow2）围成的区域，正好是红色部分。因此我们需要求的就是红色部分的面积，继续分析几个区域：

黄色，能直接求出来，就是 sum[row1 - 1, col1 - 1] （为什么减⼀？因为要剔除掉 row 这一行和 col 这一列）
绿色，直接求不好求，但是和黄色拼起来，正好是 sum 表内 sum[row1 - 1][col2]的数据；
同理，蓝色不好求，但是蓝 + 黄 = sum[row2][col1 - 1] ；
再看看整个面积，好求嘛？非常好求，正好是 sum[row2][col2] ；
那么，红色就 = 整个面积 - 黄 - 绿 - 蓝，但是绿蓝不好求，我们可以这样减：整个面积 -（绿+ 黄）-（蓝 + 黄），这样相当于多减去了⼀个黄，再加上即可

综上所述：红 = 整个面积 - （绿 + 黄）- （蓝 + 黄）+ 黄，从而可得红色区域内的元素总和为：
sum[row2][col2] - sum[row2][col1 - 1] - sum[row1 - 1][col2] + sum[row1 -1][col1 - 1]

C++算法代码：

#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;int main() {//1.输入数据int n=0,m=0,q=0;cin>>n>>m>>q;vector<vector<int>> arr(n+1,vector<int>(m+1));for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)cin>>arr[i][j];//2.预处理vector<vector<long long>> dp(n+1,vector<long long>(m+1));for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]+arr[i][j]-dp[i-1][j-1];//3.使用前缀和int x1=0,y1=0,x2=0,y2=0;while(q--){cin>>x1>>y1>>x2>>y2;cout<<dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1]<<'\n';}return 0;
}
// 64 位输出请用 printf("%lld")

算法总结&&笔记展示：

笔记字有点丑，大家见谅：
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结尾：

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结语：本文介绍了前缀和算法的核心思想及实现方式。通过预处理构建前缀和数组dp，其中dp[i]表示区间[1,i]内所有元素的和，利用递推公式dp[i]=dp[i-1]+arr[i]快速计算。查询区间[l,r]的和时，只需计算dp[r]-dp[l-1]即可高效获取结果。文章以C++代码演示了该算法的应用，并附有手写笔记说明。前缀和算法适用于频繁区间求和场景，能显著提升计算效率。