密码学系列 - 零知识证明(ZKP) - NTT与MSM的总结

区别

特性	多项式乘法 (NTT)	椭圆曲线点乘 (MSM)
定义	两个多项式的系数逐项乘积并合并结果。	标量和椭圆曲线点的点乘。
数学背景	代数运算（有限域/环上的多项式）。	椭圆曲线上的群运算。
操作对象	多项式的系数。	椭圆曲线上的点和整数标量。
结果类型	多项式（一个更高次的多项式）。	椭圆曲线上的点。
复杂度	使用 NTT 优化到 $O(n\log n)$。	使用双倍和加法优化到 $O(\log k)$。
主要用途	多项式承诺、FFT 运算、约束检查等。	密钥生成、签名、验证、证明生成。
加速方法	NTT、FFT、并行化等。	Pippenger 算法、分块优化等。

联系

尽管它们在数学定义上不同，但在许多密码学和零知识证明系统中，它们常常相辅相成：

1. 多项式承诺和 KZG（Kate-Zaverucha-Goldberg）方案：
   • 多项式承诺用于证明一个多项式在某一点的值是正确的。
   • KZG 承诺需要将多项式的系数映射到椭圆曲线上的点，这种映射本质上是 MSM（多标量乘法）的应用。
2. 生成证明：
   • 零知识证明需要将电路表达为一个多项式约束系统。
   • 约束系统中的多项式运算需要通过多项式乘法（优化为 NTT）来处理，而验证者需要依赖 MSM 来验证多项式承诺和点对验证。
3. 两者协同加速：
   • 电路约束阶段
     • 多项式运算的优化（例如 NTT 加速）可以减少整个电路的中间步骤。
   • 证明生成与验证阶段
     • 椭圆曲线点乘(MSM)的优化（如 Pippenger 算法）可以加速证明的最终生成和验证。

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