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算法学习记录08——并归的应用（LeetCode[315]）

news 2025/10/27 7:07:18

前文算法学习记录07——归并排序的实现与优化

并归的应用（LeetCode[315]）

给你一个整数数组 nums ，按要求返回一个新数组 counts 。数组 counts 有该性质： counts[i] 的值是 nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。

归并排序思想的核心思路

归并排序的过程是将数组不断二分，排序后合并。在合并过程中，我们可以同步统计 “右侧小于当前元素的数量”，原因如下：

归并排序处理的是两个已排序的子数组（左半部分 left 和右半部分 right）。
当合并时，若左半部分的元素 left[i] 大于右半部分的元素 right[j]，则 right[j] 及 right 中 j 之后的所有元素都小于 left[i]（因为 right 已排序），因此可直接统计数量。

举例说明（实在不懂，自己画个图，很好懂的）

假设我们有两个已排序的子数组：

左子数组 left = [(5, 0), (6, 2)]（元素值为 5、6，原始索引为 0、2）
右子数组 right = [(2, 1), (1, 3)]（元素值为 2、1，原始索引为 1、3）
注意：这里的右子数组在实际归并过程中已经过排序，正确的有序右子数组应为 right = [(1, 3), (2, 1)]（按值从小到大排列）。

合并过程分析：

初始化指针 i=0（指向 left[0] = (5, 0)），j=0（指向 right[0] = (1, 3)）。
- 比较 left[0].值=5 和 right[0].值=1：5 > 1。
- 由于 right 是有序的（[1, 2]），right[j=0] 之后的所有元素（即 [2]）也都小于 5。
- 因此，right 中小于 5 的元素数量为 len(right) - j = 2 - 0 = 2（元素 1 和 2）。
- 所以 counts[0] += 2（原始索引 0 对应的元素 5，右侧有 2 个更小的元素）。
移动左指针 i=1（指向 left[1] = (6, 2)），j 仍为 0。
- 比较 left[1].值=6 和 right[0].值=1：6 > 1。
- right[j=0] 之后的元素（[2]）仍小于 6，数量为 2 - 0 = 2。
- 因此 counts[2] += 2（原始索引 2 对应的元素 6，右侧暂时统计到 2 个更小的元素）。
移动左指针 i 超出左数组长度，将右数组剩余元素加入结果，合并结束。

代码实现

class Solution(object):def countSmaller(self, nums):""":type nums: List[int]:rtype: List[int]"""n = len(nums)temp = [0] * n##添加的内容#########################################################for i, num in enumerate(nums):nums[i] = (i, num)res = [0] * n####################################################################def merge(l, mid, h):"""合并 nums[l..mid-1] 和 nums[mid..h-1]"""for i in range(l, h):temp[i] = nums[i]i, j = l, midp = lwhile i < mid and j < h:if temp[i][1] <= temp[j][1]:nums[p] = temp[i]##添加的内容#################################################res[temp[i][0]] += j - mid###########################################################i += 1else:nums[p] = temp[j]j += 1p += 1while i < mid:nums[p] = temp[i]##添加的内容##################################################res[temp[i][0]] += j - mid#############################################################i += 1p += 1while j < h:nums[p] = temp[j]j += 1p += 1def sort(l, h):"""递归排序 nums[l..h-1]"""if h - l <= 1:returnmid = l + (h - l) // 2sort(l, mid)sort(mid, h)if nums[mid - 1][1] <= nums[mid][1]:returnmerge(l, mid, h)sort(0, n)return res # 修改