【现代控制理论】【控制系统的状态空间分析】【线性连续系统的能观性】

一、 直观理解

  能观性研究的核心问题是：能否通过系统在有限时间内的输出测量值，唯一地确定系统的初始状态。

简单比喻：将一个系统看作黑箱，只能看到外部输出（如仪表指针）。能观性就是问：通过观察这些输出变化，能否准确推断黑箱内部所有状态（如齿轮位置、速度等）的初始值？

二、数学描述

考虑线性时不变连续系统：

$$\{\begin{array}{l}\dot{\mathbf{x}}(t)=A\mathbf{x}(t)+B\mathbf{u}(t)\\ \mathbf{y}(t)=C\mathbf{x}(t)+D\mathbf{u}(t)\end{array}$$

其中参数说明：

• $\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{R}}^n$：状态向量
• $\mathbf{u}(t)\in {\mathbb{R}}^p$：输入向量
• $\mathbf{y}(t)\in {\mathbb{R}}^q$：输出向量
• $A,B,C,D$：适当维数的常数矩阵

三、 能观性定义

  形式化定义：如果对任意初始状态 $\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0$，存在有限时间 $t_1>0$，使得根据区间 $[0,t_1]$ 上的输出 $\mathbf{y}(t)$ 和输入 $\mathbf{u}(t)$，能唯一确定初始状态 ${\mathbf{x}}_0$，则称系统是完全能观的。

重要说明：能观性是系统的内在属性，只取决于矩阵 $A$ 和 $C$，与输入 $\mathbf{u}(t)$ 无关。

四、能观性矩阵判据

定义能观性矩阵

$$\mathcal{O}=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]$$其中 $n$ 为状态维数。
判据：系统完全能观的充要条件是：$\text{rank}(\mathcal{O})=n$

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证明能观性矩阵判据

步骤1：系统的零输入响应

考虑零输入情况（$\mathbf{u}(t)=0$），系统方程为：

$$\{\begin{array}{l}\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}\\ \mathbf{y}=C\mathbf{x}\end{array}$$
解为：

• $\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)$
• $\mathbf{y}(t)=C{e}^{At}\mathbf{x}(0)$

步骤2：应用凯莱-哈密顿定理

设 $A$ 的特征多项式为：

$$p(\lambda )=\det (\lambda I-A)={\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0$$
根据凯莱-哈密顿定理：$$p(A)=A^n+a_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +a_{1}A+a_{0}I=0$$
由此可得，对于任意 $k\ge n$，$A^k$ 可表示为 $I,A,A^2,\dots ,A^{n-1}$ 的线性组合。
参考：【矩阵分析与应用】【第8章 特征分析】【8.3.4 凯莱哈密顿定理求解矩阵指数 e^At】

步骤3：输出响应的有限项表示

将 $e^{At}$ 的有限项表示代入输出方程：
$$\mathbf{y}(t)=C[{\alpha }_0(t)I+{\alpha }_1(t)A+\cdots +{\alpha }_{n-1}(t)A^{n-1}]\mathbf{x}(0)$$
整理得：
$$\mathbf{y}(t)=[{\alpha }_0(t)C+{\alpha }_1(t)CA+\cdots +{\alpha }_{n-1}(t)C{A}^{n-1}]\mathbf{x}(0)$$

步骤4：构造能观性条件

为了确定初始状态 $\mathbf{x}(0)$，我们需要从输出 $\mathbf{y}(t)$ 中提取足够的信息。

考虑在时间 $t=0$ 附近对输出进行采样或求导。输出 $\mathbf{y}(t)$ 及其各阶导数在 $t=0$ 时刻的值为：

$\mathbf{y}(0)=C\mathbf{x}(0)$
$\dot{\mathbf{y}}(0)=CA\mathbf{x}(0)$
$\ddot{\mathbf{y}}(0)=C{A}^2\mathbf{x}(0)$
$⋮$
${\mathbf{y}}^{(n-1)}(0)=C{A}^{n-1}\mathbf{x}(0)$

将这些方程组合成矩阵形式：

$\left[\begin{array}{c}\mathbf{y}(0)\\ \dot{\mathbf{y}}(0)\\ \ddot{\mathbf{y}}(0)\\ ⋮\\ {\mathbf{y}}^{(n-1)}(0)\end{array}\right]=$$\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]\mathbf{x}(0)=\mathcal{O}\mathbf{x}(0)$

步骤5：能观性的充要条件

上述方程是一个线性方程组：
$$\mathbf{Y}=\mathcal{O}\mathbf{x}(0)$$
其中 $\mathbf{Y}$ 是由输出及其导数构成的向量。
能观性的含义：能够从 $\mathbf{Y}$ 唯一确定 $\mathbf{x}(0)$。根据线性代数理论，该方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵 $\mathcal{O}$ 满列秩：$$\text{rank}(\mathcal{O})=n$$

步骤6：充分性证明

• 如果 $\text{rank}(\mathcal{O})=n$，则：$\mathcal{O}$ 的列空间是整个 ${\mathbb{R}}^n$
• 对于任意 $\mathbf{Y}$，方程 $\mathbf{Y}=\mathcal{O}\mathbf{x}(0)$ 有唯一解
• 可通过伪逆求解：$\mathbf{x}(0)=({\mathcal{O}}^T\mathcal{O}{)}^{-1}{\mathcal{O}}^T\mathbf{Y}$
• 因此系统完全能观。

步骤7：必要性证明

• 如果 $\text{rank}(\mathcal{O})<n$，则：存在非零向量 $\mathbf{v}\ne 0$ 使得 $\mathcal{O}\mathbf{v}=0$
• 对于初始状态 ${\mathbf{x}}_1(0)$ 和 ${\mathbf{x}}_2(0)={\mathbf{x}}_1(0)+\mathbf{v}$，有 $\mathcal{O}{\mathbf{x}}_1(0)=\mathcal{O}{\mathbf{x}}_2(0)$
• 即两个不同的初始状态产生相同的输出响应，无法从输出唯一确定初始状态
• 因此系统不能观。

五、能观性判断实例

示例系统

考虑二阶系统：

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$$
状态维数 $n=2$。

构造能观性矩阵

逐步计算：

• $CA=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]$
• $\mathcal{O}=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]$

判断能观性

计算矩阵的秩：
$\text{rank}(\mathcal{O})=\text{rank}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]=2$
由于 $\text{rank}(\mathcal{O})=n=2$，该系统完全能观。