数据结构之堆

堆的定义与基本概念

堆是一种特殊的完全二叉树，也叫优先级队列，满足以下性质之一：

• 最大堆：任意节点的值大于或等于其子节点的值（根节点为最大值）。
• 最小堆：任意节点的值小于或等于其子节点的值（根节点为最小值）。

堆的存储方式

堆通常通过数组实现，利用完全二叉树的特性进行索引映射：

• 对于节点 i（从 0 开始计数）：
  • 父节点索引：(i - 1) // 2
  • 左子节点索引：2i + 1
  • 右子节点索引：2i + 2

堆的操作

插入元素（上浮）向上调整多用于插入

1. 将新元素添加到数组末尾。
2. 比较新元素与其父节点的值，若违反堆性质则交换。
3. 重复上浮过程直至满足堆性质。

删除堆顶元素（下沉）向下调整多用于构建堆和删除元素

1. 交换堆顶与数组末尾元素，并删除末尾元素。
2. 从堆顶开始，比较当前节点与子节点的值，若违反堆性质则与较大（最大堆）或较小（最小堆）的子节点交换。
3. 重复下沉过程直至满足堆性质。

堆的构建

时间复杂度：O(n)（自底向上调整）。

1. 从最后一个非叶子节点开始（索引 n//2 - 1）。
2. 对每个节点执行下沉操作，确保子树满足堆性质。

代码示例（Java）

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;/*** Created with IntelliJ IDEA.* Description:* User: zhany* Date: 2025-10-24* Time: 19:48*/
public class Piorory {int[] elem;int usedSize;public Piorory(){this.elem = new int[10];}public void initElem(int[] array) {for (int i = 0; i < array.length; i++) {this.elem[i] = array[i];this.usedSize++;}}public void creatHeap(){for (int parent = (this.usedSize-2)/2; parent >=0; parent--) {siftDown(parent,this.usedSize);}}
//向下调整主要是用于构建堆和删除顶部元素private void siftDown(int parent, int usedSize) {int child = 2*parent +1;while(child<usedSize){if(child+1<usedSize && elem[child] <elem[child+1]){child ++;}if(elem[child] >elem[parent]){swap(elem,child,parent);parent = child;child = 2*parent+1;} else{break;}}}private void swap(int[]elem,int child, int parent) {int tmp = elem[child];elem[child] = elem[parent];elem[parent] = tmp;}//向上主要是用于插入元素public void shifUp(int child){int parent = (child-1)/2;while(parent >= 0){if (elem[child] > elem[parent]) {swap(elem,child,parent);child = parent;parent = (child -1)/2;} else{break;}}}public void offer(int val){if(isFull()){elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);}elem[usedSize] = val;shifUp(usedSize);usedSize++;}public  boolean isFull(){return  usedSize == elem.length;}public boolean isEmpty(){return usedSize == 0;}public int peek(){if (isEmpty()) {return -1;}return elem[0];}public void printHeap() {for (int i = 0; i < usedSize; i++) {System.out.print(elem[i] + " ");}System.out.println();}
}