当前位置：首页 > news >正文

UVa 1635 Irrelevant Elements

news 2025/10/25 10:20:18

题目分析

本题要求我们找出初始数组中的“无关元素”。所谓无关元素，指的是在特定的随机数生成方案中，最终结果不依赖于该元素的初始值。

随机数生成方案

方案步骤如下：

初始生成 $n$ 个范围在 $[0, m - 1]$ 的随机整数 $a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n$
不断将相邻两数相加，得到新数组，长度减 $1$
重复此过程直到只剩一个数
对该数取模 $m$ 得到最终结果

数学建模

通过观察可以发现，这个不断相邻相加的过程实际上类似于杨辉三角的构建过程。最终结果可以表示为：

$\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \cdot a_k$

最终结果为 $\bmod m$ 。

无关元素的判定条件

一个元素 $a_i$ 是无关的，当且仅当改变 $a_i$ 的值不会影响最终结果 $\bmod m$ 。这发生在：

$(n−1i−1)≡0(modm)\binom{n-1}{i-1} \equiv 0 \pmod{m}$

也就是说，组合数 $(n−1i−1)\binom{n-1}{i-1}$ 必须能被 $m$ 整除。

问题转化

因此，原问题转化为：对于 $\ldots, n$ ，判断 $m=0\binom{n-1}{i-1} \bmod m = 0$ 是否成立。

算法思路

质因数分解：将 $m$ 分解为质因数的幂次形式 $p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$
组合数整除性检查：对于每个 $i$ ，检查是否对所有质因子 $p_j$ 都有：
$vpj((n−1i−1))≥ejv_{p_j}\left(\binom{n-1}{i-1}\right) \ge e_j$
其中 $v_p(x)$ 表示 $x$ 中质因子 $p$ 的幂次
收集结果：满足条件的 $i$ 即为无关元素

复杂度分析

质因数分解： $O(m)O(\sqrt{m})$ ，在 $\le 10^9$ 时可行
组合数检查： $\times r)$ ，其中 $r$ 是 $m$ 的质因子个数，通常很小

代码实现

// Irrelevant Elements
// UVa ID: 1635
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-24
// UVa Run Time: 0.750s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <bits/stdc++.h>using namespace std;// 质因数分解函数
vector<pair<long long, int>> factorize(long long num) {vector<pair<long long, int>> factors;// 从2开始试除for (long long prime = 2; prime * prime <= num; prime++) {if (num % prime == 0) {int exponent = 0;while (num % prime == 0) {num /= prime;exponent++;}factors.emplace_back(prime, exponent);}}// 处理剩余的质因数if (num > 1) {factors.emplace_back(num, 1);}return factors;
}// 计算x!中质因子p的幂次（勒让德公式）
int calculatePrimePower(long long prime, long long num) {int powerCount = 0;while (num >= prime) {powerCount += num / prime;num /= prime;}return powerCount;
}int main() {ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);long long n, m;// 处理多个测试用例while (cin >> n >> m) {// 分解m的质因数auto primeFactors = factorize(m);vector<int> irrelevantIndices;// 检查每个位置i（对应组合数C(n-1, i-1)）for (long long index = 0; index < n; index++) {bool isIrrelevant = true;// 检查所有质因子条件for (auto& factor : primeFactors) {long long prime = factor.first;int requiredExponent = factor.second;// 计算组合数中质因子p的幂次：v_p(C(n-1, index))int actualExponent = calculatePrimePower(prime, n - 1) - calculatePrimePower(prime, index) - calculatePrimePower(prime, n - 1 - index);// 如果某个质因子的幂次不足，则该位置不是无关的if (actualExponent < requiredExponent) {isIrrelevant = false;break;}}// 如果满足所有条件，记录该位置if (isIrrelevant) {irrelevantIndices.push_back(index + 1);}}// 输出结果cout << irrelevantIndices.size() << "\n";if (!irrelevantIndices.empty()) {for (size_t j = 0; j < irrelevantIndices.size(); j++) {if (j > 0) cout << " ";cout << irrelevantIndices[j];}cout << "\n";} else {cout << "\n";}}return 0;
}

关键点说明

勒让德公式：用于高效计算阶乘中质因子的幂次，公式为：
$vp(n!)=⌊np⌋+⌊np2⌋+⌊np3⌋+⋯v_p(n!) = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \cdots$
组合数的质因子幂次：
$vp((nk))=vp(n!)−vp(k!)−vp((n−k)!)v_p\left(\binom{n}{k}\right) = v_p(n!) - v_p(k!) - v_p((n-k)!)$
整除性判定： $\mid \binom{n-1}{i-1}$ 当且仅当对于 $m$ 的所有质因子 $p^e$ ，都有 $vp((n−1i−1))≥ev_p\left(\binom{n-1}{i-1}\right) \ge e$