UVa 13099 Tobby and the Line Game
题目分析
问题描述
Tobby \texttt{Tobby} Tobby 参加一个在矩形场地上进行的游戏。场地左下角坐标为 ( x L , y L ) (x_L, y_L) (xL,yL)，右上角坐标为 ( x R , y R ) (x_R, y_R) (xR,yR)。游戏规则是：每个参与者投掷两枚硬币，硬币落点均匀分布在矩形区域内（包括边界），且两次投掷相互独立。游戏的获胜者是两枚硬币落点之间线段长度最长的参与者。
Tobby \texttt{Tobby} Tobby 想知道他获胜的机会有多大，因此需要计算两枚硬币落点之间距离平方的期望值：
E [ ∣ ∣ p 1 − p 2 ∣ ∣ 2 ] = E [ ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 ] E[||\mathbf{p}_1 - \mathbf{p}_2||^2] = E[(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2] E[∣∣p1−p2∣∣2]=E[(x1−x2)2+(y1−y2)2]
关键观察
- 独立性： x 1 x_1 x1 与 x 2 x_2 x2 独立， y 1 y_1 y1 与 y 2 y_2 y2 独立，且 x x x 坐标与 y y y 坐标相互独立
- 均匀分布：所有坐标在各自区间内均匀分布
- 可分离性：期望运算可以分解为 x x x 方向和 y y