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数据结构——折半插入排序

news 2025/10/25 8:24:43

折半插入排序

直接插入排序在确定插入位置时，需要逐个比较已排序区间的元素，当已排序区间较长时，比较次数较多。折半插入排序则利用“已排序区间是有序的”这一特性，通过折半查找快速确定插入位置，从而减少比较次数，是对直接插入排序的高效优化。

1. 折半插入排序的执行流程

我们以数组arr = {49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49}为例，详细演示折半插入排序的每一步：

初始状态：已排序区间为[49]，未排序区间为{38, 65, 97, 76, 13, 27, 49}。
第1次插入（处理38）：
目标是将38插入到已排序区间[49]的合适位置。
① 折半查找插入位置：定义low=0，high=0（已排序区间长度为1），计算mid = (low+high)/2 = 0。比较arr[mid]=49与38，38 < 49，所以插入位置在mid左侧，更新high=mid-1=-1，此时low > high，确定插入位置为low=0。
② 移动元素并插入：将49后移一位，把38插入到arr[0]位置。数组变为{38, 49, 65, 97, 76, 13, 27, 49}，已排序区间扩展为[38, 49]。
第2次插入（处理65）：
已排序区间为[38, 49]，处理未排序区间的65。
① 折半查找：low=0，high=1，mid=(0+1)/2=0。比较arr[mid]=38与65，65 > 38，更新low=mid+1=1；再次计算mid=(1+1)/2=1，比较arr[mid]=49与65，65 > 49，更新low=mid+1=2，此时low > high，确定插入位置为low=2。
② 移动元素并插入：65直接插入到49后面，数组不变，已排序区间扩展为[38, 49, 65]。
第3次插入（处理97）：
已排序区间为[38, 49, 65]，处理97。
折半查找后，发现97大于已排序区间的最大元素65，直接插入到末尾，数组不变。
第4次插入（处理76）：
已排序区间为[38, 49, 65, 97]，处理76。
① 折半查找：low=0，high=3，mid=1（arr[1]=49 < 76），更新low=2；mid=2（arr[2]=65 < 76），更新low=3；mid=3（arr[3]=97 > 76），更新high=2，此时low > high，确定插入位置为low=3。
② 移动元素并插入：将97后移，把76插入到65和97之间，数组变为{38, 49, 65, 76, 97, 13, 27, 49}。
后续插入（处理13、27、49）：
按照同样的折半查找逻辑，13会被插入到最前面，27插入到13之后，最后一个49会插入到已排序区间中第一个49的后面（保持相同元素的相对顺序，算法稳定）。最终数组变为{13, 27, 38, 49, 49, 65, 76, 97}。

2. 折半插入排序的代码实现

以下是折半插入排序的C语言实现，核心是用折半查找确定插入位置，再移动元素完成插入：

void BinaryInsertSort(int arr[], int n) {int i, j, low, high, mid, temp;for (i = 1; i < n; i++) {temp = arr[i];            // 取出未排序区间的第一个元素low = 0; high = i - 1;   // 已排序区间的范围[low, high]while (low <= high) {     // 折半查找插入位置mid = (low + high) / 2;if (arr[mid] > temp) high = mid - 1;else low = mid + 1;}for (j = i; j > low; j--) {  // 移动元素，腾出插入位置arr[j] = arr[j - 1];}arr[low] = temp;         // 插入元素}
}

代码说明：

外层循环i遍历未排序区间的起始位置；
折半查找阶段：通过low和high缩小范围，最终low即为插入位置；
元素移动阶段：从i位置开始，将元素后移，直到low位置，再将temp插入。

3. 折半插入排序的性能与特性

时间复杂度：
折半查找的时间复杂度为 $O(log⁡n)O(\log n)$ ，但元素移动的次数仍与直接插入排序相同，因此整体时间复杂度仍为 $O(n^2)$ 。不过，由于减少了比较次数，实际运行效率比直接插入排序更高。
空间复杂度：仅需一个临时变量temp，空间复杂度为 $O (1)$ 。
稳定性：相同元素插入时，相对顺序不会改变，因此折半插入排序是稳定的。