数据结构——希尔排序

希尔排序

直接插入排序和折半插入排序在数组基本有序时效率很高，但面对无序数组时，时间复杂度为$O(n^2)$。希尔排序通过“分组插入、逐步缩增量”的策略，大幅提升了插入排序的效率，它是插入排序的进阶优化版本。

1. 希尔排序的核心思想

希尔排序将待排序数组按“增量（间隔）”分成若干组，每组内的元素进行直接插入排序；然后逐步缩小增量，重复分组和组内排序的过程，直到增量为1时，进行最后一次全局的直接插入排序。这里的“增量”决定了分组的依据，例如增量为$d$时，下标为$i,i+d,i+2d,\dots$的元素为一组。

通过这种“先宏观调整，再微观整理”的方式，数组会逐渐趋于有序，最终在增量为1时，插入排序的效率会非常高（因为数组已基本有序）。

2. 希尔排序的执行流程（结合示例图片）

我们以示例图片中的初始关键字arr = {49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49, 55, 04}为例，详细分析希尔排序的每一趟过程：

• 第一趟：增量$d_1=5$
  按增量5分组，数组被分为5组：(49,13)、(38,27)、(65,49)、(97,55)、(76,04)。对每组内的元素进行直接插入排序：

  • 组(49,13)排序后为(13,49)；
  • 组(38,27)排序后为(27,38)；
  • 组(65,49)排序后为(49,65)；
  • 组(97,55)排序后为(55,97)；
  • 组(76,04)排序后为(04,76)。
    将各组结果按顺序拼接，得到第一趟排序结果：13, 27, 49, 55, 04, 49, 38, 65, 97, 76（如图中“第一趟排序结果”所示）。

• 第二趟：增量$d_2=3$
  缩小增量为3，重新分组：(13,55,38,76)、(27,04,65)、(49,49,97)。对每组内的元素进行直接插入排序：

  • 组(13,55,38,76)排序后为(13,38,55,76)；
  • 组(27,04,65)排序后为(04,27,65)；
  • 组(49,49,97)排序后为(49,49,97)。
    拼接后得到第二趟排序结果：13, 04, 49, 38, 27, 49, 55, 65, 97, 76（如图中“第二趟排序结果”所示）。

• 第三趟：增量$d_3=1$
  增量缩小为1，此时数组已基本有序，进行一次全局的直接插入排序。最终得到有序数组：04, 13, 27, 38, 49, 49, 55, 65, 76, 97（如图中“第三趟排序结果”所示）。

3. 希尔排序的代码实现

希尔排序的关键是选择增量序列，常见的增量选择是“初始增量为$n/2$，每次减半”（$n$为数组长度）。以下是希尔排序的C语言实现：

void ShellSort(int arr[], int n) {int d, i, j, temp;for (d = n / 2; d > 0; d /= 2) { // 增量逐步缩小for (i = d; i < n; i++) {   // 遍历每组的第二个及以后元素temp = arr[i];for (j = i - d; j >= 0 && arr[j] > temp; j -= d) {arr[j + d] = arr[j]; // 组内元素后移}arr[j + d] = temp;      // 插入元素}}
}

代码说明：

• 外层循环控制增量$d$的缩小，从$n/2$开始，每次减半；
• 中层循环遍历“每组”的待插入元素（从第$d$个元素开始，因为每组第一个元素默认在组内有序）；
• 内层循环在组内进行直接插入排序，通过j -= d实现组内元素的比较和移动。

4. 希尔排序的性能与特性

• 时间复杂度：希尔排序的时间复杂度与增量序列的选择密切相关，目前没有精确的数学分析，但在平均情况下，其时间复杂度为$O(n^{1.3})$，远优于直接插入排序的$O(n^2)$。
• 空间复杂度：仅需一个临时变量temp，空间复杂度为$O(1)$。
• 稳定性：由于分组排序时会打乱相同元素的相对顺序，因此希尔排序是不稳定的。

5. 适用场景

希尔排序适合数据量较大且无序的场景，它能快速将数组“宏观调整”为基本有序，大幅降低最终插入排序的时间开销。例如，在处理 thousands 级别的数据时，希尔排序的效率明显高于直接插入排序。

综上，希尔排序通过“分组插入、逐步缩增量”的策略，解决了直接插入排序在无序数组上的低效问题，是插入排序家族中性能更优的算法。理解其分组排序的逻辑和增量选择的影响，能帮助我们在实际场景中选择更高效的排序方式。