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数据结构（8）

news 2025/10/25 7:54:56

图

一、图的基本概念

二、图的存储结构——非线性结构（m : n）

顺序存储结构

1、邻接矩阵表示法

2、网（即有权图）的邻接矩阵

3、比较

图

一、图的基本概念

1、若 n 个顶点的无向图有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 条边，称为无向完全图。

2、若 n 个顶点的有向图有 n(n-1) 条边，称为有向完全图。

3、稀疏图：边较少的图，边数 << $n^{2}$ 。

4、稠密图：边很多的图。无向图中边数接近 $\frac{n(n-1)}{2}$ ；有向图中边数接近 n(n-1)。

5、带权树：边上带权的图 <=> 网络。

6、弧头和弧尾：有向边 (u,v) 称为弧，边的始点 u 叫弧尾，终点 v 叫弧头。在有向图中顶点 v 的度等于该顶点的入度与出度之和。

7、问：当有向图中仅1个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，此时是何形状？

答：是树，而且是一棵有向树。

8、生成树：是一个极小连通子图，它必含有图中全部顶点，但只有 n-1 条边。

（1）如果在生成树上添加1条边，必定构成一个环。

（2）若图中有 n 个顶点，却少于 n-1 条边，必为非连通图。

9、生成森林：由若干棵有向树组成，含全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。

路劲长度：

（1）非带权图的路径长度是指此路径上边的条数

（2）带权图的路径长度是指此路径上各边的权之和

简单路径：路径上各顶点 $v_{1}$ 、 $v_{2}$ 、......、 $v_{m}$ 均不相互重复

二、图的存储结构——非线性结构（m : n）

顺序存储结构

① 可用数组描述元素间的关系（多个顶点，无序可言）

② 图的顺序存储结构是指用数组（顺序表）来存储图的顶点信息及顶点间的关系（边或弧），其核心是通过数组的下标或元素值描述顶点之间的邻接关系。与树的顺序存储不同，图的顶点之间没有固定的层次或父子关系（“无序可言”），因此需要专门的结构记录顶点间的连接状态。

1、邻接矩阵表示法

（1）建立一个顶点表（记录各个顶点信息）和一个邻接矩阵（表示各个顶点之间关系）

（2）邻接矩阵（Adjacency Matrix）是图的一种基本顺序存储方式，通过一个二维数组表示顶点间的邻接关系，适用于无向图或有向图（无权图）。

（3）有关系填1，没关系填0

（4）核心定义

设图有 n 个顶点，定义一个 n×n 的二维数组 A（称为邻接矩阵），其中：
- A[i][j]=1：表示顶点 i 与顶点 j 之间存在一条边（无向图）或弧（有向图，从 i 到 j）。
- A[i][j]=0：表示顶点 i 与顶点 j 之间不存在边或弧。
- 对于无向图，邻接矩阵是对称矩阵（A[i][j]=A[j][i]）；对于有向图，邻接矩阵不一定对称。

示例1：

a. 无向图的邻接矩阵是对称的

b. 顶点 i 的度=第 i 行（列）中1的个数

c. 特点：完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余全为1

示例2：

a. 在有向图的邻接矩阵中，第 i 行含义：以结点 $v_{i}$ 为尾的弧（即出度边）

b. 在有向图的邻接矩阵中，第 i 列含义：以结点 $v_{i}$ 为头的弧（即入度边）

c. 有向图的邻接矩阵可能是不对称的

d. 顶点的出度=第 i 行元素之和， $OD(v_{i})=\sum A.Edge[i][j]$

e. 顶点的入度=第 i 列元素之和， $ID(v_{i})=\sum A.Edge[j][i]$

f. 顶点的度=第 i 行元素之和+第 i 列元素之和， $TD(v_{i})=OD(v_{i})+ID(v_{i})$

示例3：

无向图：顶点集合 V={0,1,2,3}，边集合 E={(0,1),(0,2),(1,2),(1,3)}，邻接矩阵为：
```
  0 1 2 3
0 0 1 1 0
1 1 0 1 1
2 1 1 0 0
3 0 1 0 0
```
（对称矩阵，如 A[0][1]=A[1][0]=1，表示 0 和 1 之间有边）。
有向图：顶点集合 V={0,1,2}，弧集合 E={<0,1>,<1,0>,<1,2>}，邻接矩阵为：
```
  0 1 2
0 0 1 0
1 1 0 1
2 0 0 0
```
（非对称，如 A[0][1]=1 但 A[1][0]=1 是因为存在双向弧，而 A[1][2]=1 但 A[2][1]=0）。

（5）特点

优点：
- 判断两个顶点是否相邻（存在边）的时间复杂度为 O(1)（直接查 A[i][j]）。
- 便于计算顶点的度（无向图中顶点 i 的度是第 i 行或第 i 列的和；有向图中出度是第 i 行的和，入度是第 i 列的和）。
- 容易实现图的操作，如：求某顶点的度、判断顶点之间是否有边（弧）、找顶点的邻接点等。
缺点：
- n 个顶点需要 n*n 个单元存储边（弧）。
- 空间复杂度为 O(n2)，不适合存储稀疏图（边数远小于 n2 的图），会浪费大量空间。
- 对于 n 个顶点 e 条弧的网，建网时间效率= $O(n^{2}+n+e*n)$ 。

2、网（即有权图）的邻接矩阵

网（Network）是带权值的图（边或弧具有权重，如距离、成本等），其邻接矩阵是无权图邻接矩阵的扩展，通过二维数组存储顶点间的权重值。

① A.Edge[i][j]= $W_{ij}$ ( $v_{i},v_{j}$ )或< $v_{i},v_{j}$ > $\in$ $v_{R}$

② A.Edge[i][j]= ∞ 无边（弧）

③ 核心定义

设网有 n 个顶点，定义 n×n 的二维数组 A，其中：
- A[i][j]=w：表示顶点 i 与顶点 j 之间存在一条边或弧，权重为 w（w 为非负实数）。
- A[i][j]=∞（无穷大，通常用一个远超最大权重的数表示）：表示顶点 i 与顶点 j 之间不存在边或弧。
- 对于无向网，邻接矩阵仍为对称矩阵（A[i][j]=A[j][i]）；对于有向网，矩阵不一定对称。
- 顶点自身到自身的权重通常为 0（A[i][i]=0）。

示例1：

无向网：顶点集合 V={0,1,2}，边及权重为 (0,1,5)、(0,2,3)、(1,2,1)，邻接矩阵为：
```
    0    1    2
0   0    5    3
1   5    0    1
2   3    1    0
```
（对称，如 A[0][1]=A[1][0]=5，表示 0 和 1 之间的边权重为 5）。
有向网：顶点集合 V={0,1,2}，弧及权重为 <0,1,2>、<1,2,3>、<2,0,4>，邻接矩阵为：
```
    0    1    2
0   0    2   ∞
1  ∞    0    3
2   4   ∞    0
```
（非对称，如 A[0][1]=2 表示从 0 到 1 的弧权重为 2，而 A[1][0]=∞ 表示无反向弧）。

示例2：

④ 特点

优点：
- 不仅能表示顶点间的邻接关系，还能直接存储权重，适合 Dijkstra、Floyd 等最短路径算法的实现（依赖权重快速访问）。
- 与无权图邻接矩阵一样，判断邻接和计算度（带权和）的效率高（O(1) 或 O(n)）。
缺点：
- 空间复杂度仍为 O(n2)，稀疏网（权值非 ∞ 的元素少）会浪费大量空间。

3、比较

类型	核心存储内容	空间复杂度	适用场景
邻接矩阵（无权图）	0/1 表示是否有边 / 弧	O(n2)	稠密图、需频繁判断邻接关系
网的邻接矩阵	权重值 /∞ 表示边的权重	O(n2)	稠密网、需频繁访问权重（如最短路径计算）

两者均通过二维数组实现，本质是用 “空间换时间”，适合顶点数量固定且边数较多的图（稠密图 / 网）；对于稀疏图 / 网，通常更适合用链式存储（如邻接表）。

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