[优选算法专题四.前缀和——NO.31~32 连续数组、矩阵区域和]
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525. 连续数组
题目描述：
题目解析：
核心思路详解
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问题转换原问题是 "找到 0 和 1 数量相等的最长连续子数组"，通过将 0 转换为 - 1，1 保持为 1，问题等价于 "找到和为 0 的最长连续子数组"（因为 0 和 1 数量相等时，-1 和 1 的总和为 0）。
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前缀和的应用设前缀和
sum[i]为数组前i个元素的和（按上述转换规则计算）。对于子数组[j+1, i]，其和为sum[i] - sum[j]。若该子数组和为 0，则sum[i] = sum[j]。 -
哈希表优化哈希表记录每个前缀和第一次出现的索引。当遍历到索引
i时，若sum[i]已在哈希表中存在（设第一次出现索引为j），则子数组[j+1, i]的和为 0，其长度为i - j。通过这种方式，可在 O (1) 时间内查找历史前缀和，避免暴力枚举的 O (n²) 复杂度。 -
初始化处理哈希表初始化为
{0: -1}，是为了处理从数组起始位置（索引 0）开始的子数组。例如，若sum[2] = 0，则子数组[0, 2]的长度为2 - (-1) = 3。
时间与空间复杂度
- 时间复杂度：O (n)，其中 n 为数组长度，只需遍历一次数组，哈希表操作平均为 O (1)。
- 空间复杂度：O (n)，最坏情况下哈希表需存储 n 个不同的前缀和。
该算法通过巧妙的问题转换和前缀和 + 哈希表的组合，高效解决了最长 0-1 相等子数组问题。
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1314. 矩阵区域和
题目解析：
核心思路详解
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问题分析对于矩阵中的每个元素
(i,j)，需要计算以其为中心、上下左右各扩展k个单位的矩形区域内所有元素的和（若扩展超出矩阵边界，则以矩阵边界为限）。若直接暴力计算，每个元素的区域和需 O (k²) 时间，整体复杂度为 O (mn・k²)，效率极低。 -
二维前缀和的作用二维前缀和数组
dp可以将任意矩形区域的和的计算优化到 O (1) 时间。其定义为：dp[i][j]表示矩阵中从左上角(0,0)到右下角(i-1,j-1)的矩形区域内所有元素的和（dp比原矩阵多一行一列，从 1 开始索引，方便处理边界）。构建前缀和的公式：
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + mat[i-1][j-1]（解释：上方区域和 + 左方区域和 - 重叠的左上角区域和 + 当前元素值） -
区域和计算对于元素
(i,j)，其k半径区域的边界为：- 上边界：
max(0, i - k) - 下边界：
min(m-1, i + k) - 左边界：
max(0, j - k) - 右边界：
min(n-1, j + k)
转换到前缀和数组
dp的索引（需 + 1）后，利用前缀和公式计算该区域和：区域和 = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1] - 上边界：
时间与空间复杂度
- 时间复杂度：O (mn)。构建前缀和数组需 O (mn)，计算每个元素的区域和也需 O (mn)，整体为线性时间。
- 空间复杂度：O (mn)。需要存储前缀和数组
dp和结果数组ret，均为m×n大小。
该算法通过二维前缀和的预处理，将原本复杂的区域和计算简化为常数时间操作，大幅提升了效率，是处理矩阵区域和问题的经典方法。