LeetCode算法日记 - Day 81: 最大子数组和
目录
1. 最大子数组和
1.1 题目解析
1.2 解法
1.3 代码实现
1. 最大子数组和
https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/description/
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 输出：6 解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入：nums = [1] 输出：1
示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8] 输出：23
提示：
1 <= nums.length <= 105-104 <= nums[i] <= 104
1.1 题目解析
题目本质
在一维数组中找到和最大的连续子序列，本质是"连续区间求和的最优选择"问题。
常规解法
枚举所有可能的子数组（双重循环确定起点和终点），计算每个子数组的和，取最大值。
问题分析
暴力枚举需要 O(n²) 时间复杂度（或 O(n³) 如果求和也用循环），当数组长度达到 10⁵ 时会超时。关键问题是存在大量重复计算——每次都从头累加子数组的和。
思路转折
要想高效 → 必须避免重复计算 → 动态规划。核心洞察：当遍历到位置 i 时，只需要决定"是接上前面的子数组"还是"从当前位置重新开始"。这样可以在 O(n) 时间内完成，因为每个位置只需要依赖前一个位置的状态。
1.2 解法
算法思想：定义 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最大子数组和。
递推公式：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])含义：要么延续前面的子数组（加上当前元素），要么放弃前面的（从当前元素重新开始）。
步骤拆解：
i）初始化 DP 数组，dp[0] 设为一个极小值作为哨兵
ii）遍历数组，对每个位置 i 计算 dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i-1], nums[i-1])
iii）遍历 DP 数组找到最大值并返回
易错点：
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初始化问题：dp[0] 和 cur 不能设为 0，因为数组可能全是负数。使用 Integer.MIN_VALUE/2 避免加法溢出
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索引偏移：代码中 dp 数组长度为 m+1，dp[i] 对应 nums[i-1]，需要注意下标映射
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最终结果：不是返回 dp[m]，而是返回整个 DP 数组中的最大值，因为最大子数组可能在任意位置结束
1.3 代码实现
class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {int m = nums.length;int[] dp = new int[m + 1];dp[0] = Integer.MIN_VALUE / 2; // 哨兵，避免溢出// 计算以每个位置结尾的最大子数组和for (int i = 1; i <= m; i++) {dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i-1], nums[i-1]);}// 找出所有位置中的最大值int cur = Integer.MIN_VALUE / 2;for (int i = 1; i <= m; i++) {cur = Math.max(cur, dp[i]);}return cur;}
}复杂度分析
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时间复杂度：O(n)，两次遍历数组
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空间复杂度：O(n)，使用了 DP 数组。可优化至 O(1)，因为每次只需要前一个状态