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单位向量是指长度为 1 的向量。在数学中，单位向量通常用于表示方向，因为它只有方向信息，而没有大小信息。

单位向量的定义：

一个向量 $\mathbf{v}$ 被称为单位向量，如果它的**模（长度）**等于 1，即：
$$\Vert \mathbf{v}\Vert =1$$

其中 $\Vert \mathbf{v}\Vert$ 表示向量的欧几里得长度，定义为：
$$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}$$

对于一个向量 $\mathbf{v}$ 来说，如果它不是单位向量，则可以通过将它除以它的模来将其标准化为单位向量：
$$\hat{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{v}}{\Vert \mathbf{v}\Vert }$$

其中，$\hat{\mathbf{v}}$ 是向量 $\mathbf{v}$ 的单位向量。

举例说明：

1. 二维空间的单位向量：

在二维空间（平面）中，一个常见的单位向量是：
$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$

• 这个向量在 $x$ 轴上，并且它的长度为 1：
  $$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{1^2+0^2}=1$$

另一个二维单位向量例子：
$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$$

• 这个向量与 $x$ 轴正方向形成 45 度角，它的长度为：
  $$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1$$

2. 三维空间的单位向量：

在三维空间中，一个常见的单位向量是：
$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

• 这个向量在 $z$ 轴方向，并且它的长度为 1：
  $$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1$$

另一个三维单位向量例子：
$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$

这个向量的长度为：
$$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{2}{4}}=\sqrt{1}=1$$

3. 任意向量标准化为单位向量：

假设有一个二维向量：
$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]$$

这个向量的长度为：
$$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

我们可以将它标准化为单位向量 $\hat{\mathbf{v}}$：
$$\hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}\end{array}\right]$$

验证其长度：
$$\Vert \hat{\mathbf{v}}\Vert =\sqrt{{\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1$$

所以，单位向量 $\hat{\mathbf{v}}=\left[\begin{array}{c}\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}\end{array}\right]$ 确实是长度为 1 的向量。

总结：

• 单位向量是长度为 1 的向量，通常用于表示方向。
• 任何非零向量都可以通过将其除以自身的长度来标准化为单位向量。
• 在几何和物理学中，单位向量常用于表示物体的方向，而忽略其大小。