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【C++高阶数据结构】红黑树

news 2025/10/21 7:17:18

前言：

前面我们已经理解并实现了AVL树，不难发现：AVL树对其自身结构有非常严格的要求，即任意节点的左右子树高度差不能超过1，所以，又有人提出了红黑树这样的数据结构，但AVL树与红黑树都遵循二叉搜索树的规则。

🚀直通车：《我的数据结构专栏》

一、什么是红黑树？

1.1、红黑树概念

红黑树是一棵二叉搜索树，他的每个结点增加一个存储位来表示结点的颜色，可以是红色或者黑色。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点的颜色进行约束，红黑树确保没有一条路径会比其他路 径长出2倍，因而是接近平衡的。

1.2、红黑树规则

•  根结点为黑色；

•  每个结点不是黑色就是红色；

•  如果结点为红色，那么该节点的两个孩子节点为黑色，即任意一条路径上没有连续的红色节点；

•  对于任意一个结点，从该结点到其所有NULL结点的简单路径上，均包含相同数量的黑色结点。

思考：红黑树如何确保最长路径不超过最短路径的2倍的？

答：从根结点开始的一条路径上只有n个黑色结点，由红黑树规则，两条路径上黑色结点数相同，且红色结点不连续，则当另一条路径上黑色结点与红色结点相间分布时，有最长长度为2n，这就保证了最长路径始终不超过最短路径的两倍。

1.3、红黑树的效率

假设N是红黑树树中结点数量，h最短路径的长度，那么2^h − 1 <= N < 2^(2∗h) − 1 , 由此推出

h ≈ logN ，也就是意味着红黑树增删查改最坏也就是走最长路径 2 ∗ logN，那么时间复杂度还是 O(logN)

二、红黑树的实现

说明：我们以实现一个键值对（key_value）类型的红黑树，且数据不支持冗余。

2.1 红黑树节点结构定义

对于结点，我们需要一个pair来存储键值对；left指针指向左孩子结点；right指针指向右孩子结点；color变量存储结点颜色；后面插入结点时，如果需要调整平衡，则要频繁地访问父亲结点，所以还需要一个parent指针指向父亲结点（与AVL数相同）。

由于结点颜色只有黑或者红，而enum（枚举类型）可以用于定义固定集合常量，所以可以将结点颜色存储在一个枚举类型中。

enum Color
{RED,BLACK
};

节点结构：

template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{pair<K, V> _kv;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;Color _col;RBTreeNode(const pair<K,V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr){}
};

2.2、红黑树的结构

template<class K,class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:// ...
private:Node* _root = nullptr; // 根结点
};

2.3、插入

当为空树时，插入节点作为根结点且颜色为黑；不为空时，插入结点就要满足红黑树的规则，如果插入黑色结点，则会打破规则四（对于任意一个结点，从该结点到其所有NULL结点的简单路径上，均包含相同数量的黑色结点），所以，新插入的结点颜色一定为红色。

而对于新插入节点的父亲结点（parent）和父亲结点的父亲节点（grandfather）颜色，进一步分析，若parent为黑，则直接插入；若parent为红，则grandfather一定黑，插入新节点（红），违反规则，需要处理。此时，就需要根据父亲结点的兄弟结点的状态来进一步分情况讨论：

说明：下图中假设我们把新增结点标识为c (cur)，c的父亲标识为p(parent)，p的父亲标识为 g(grandfather)，p的兄弟标识为u（uncle）。

当新插入结点的parent为红，即出现连续的红色结点，需要处理，大概分为下面两种情况：

情况一：u结点存在且为红

•  u 为右孩子：

•  u 为左孩子

情况一又根据 u 结点是左孩子还是右孩子分为两种情况，但是，对于这两种情况处理方式相同，即将 g 变为红，u 和 p 变为黑。但是，需要注意一点：g 变为红色后，也有可能 g 的父亲结点为红色，所以需要继续向上处理，即 c 指向 g ，p 和 g 同时更新，直到所有结点满足红黑树规则。

情况二：u结点存在为黑或不存在

此时 u 结点对于红黑树调整没有影响，但是需要考虑 p 和 c 结点的位置。

•  p 为右孩子且 c 为右孩子（左单旋+变色）

•  p 为右孩子且 c 为左孩子（双旋+变色）

•  p 为左孩子且c 为左孩子（右单旋+变色）

•  p 为左孩子且c 为右孩子（双旋+变色）

代码实现：

对于旋转调整平衡我们在前面的AVL树中已经做了详细地介绍，如果有什么问题，大家可以移步：【数据结构】AVL树：从原理到旋转平衡艺术

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{// -----------------处理空树-----------------------------if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}// -------------非空，找新结点应该插入的位置---------------Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}// -------------找到后开始插入----------------------cur = new Node(kv);cur->_col = RED;   // -------------------新插入的节点一定为红，否则会改变黑节点的数if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}// -------------------链接父亲节点---------------------cur->_parent = parent;// -------------------当出现连续的红色结点，开始调整------------------------while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;// -------------处理所有 p 为左孩子的情况---------------------------if (parent == grandfather->_left){//     g//   p   uNode* uncle = grandfather->_right;if (uncle && uncle->_col == RED) // ----------叔叔存在且为红（情况一）{// -----------------变色--------------------------grandfather->_col = RED;parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;// -----------------继续向上处理--------------------cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // ------------------------叔叔不存在或者为黑（情况二）{if (cur == parent->_left){//     g//   p   u// cRotateR(grandfather); // ---------右旋// -----------变色--------------------parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//     g//   p   u//     cRotateL(parent); // --------------左旋RotateR(grandfather); // ---------右旋// -----------变色--------------------cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else // ---------------------------处理所有 p 为右孩子的情况{//     g//   u   pNode* uncle = grandfather->_left;if (uncle && uncle->_col == RED) // ----------叔叔存在且为红（情况一）{// 变色grandfather->_col = RED;parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;// 继续向上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // -----------------------------------叔叔不存在或者为黑（情况二）{if (cur == parent->_right) {//     g//   u   p//         cRotateL(grandfather); // --------------左旋// -----------变色--------------------parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//     g//   u   p//     cRotateR(parent); // ---------右旋RotateL(grandfather); // --------------左旋// -----------变色--------------------cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK; // ----------------------统一将修改根结点颜色return true;
}
左旋：

相比于AVL树，旋转代码只需要去掉修改平衡因子的代码即可

void RotateL(Node* parent)
{Node* SubR = parent->_right;Node* SubRL = SubR->_left;Node* pParent = parent->_parent;// --------------连接parent与SubRL----------------parent->_right = SubRL;if (SubRL)SubRL->_parent = parent;// --------------连接parent与SubR----------------SubR->_left = parent;parent->_parent = SubR;// -----------------------连接SubR与pParentif (pParent == nullptr) // -------------------判断parent是否为根结点{_root = SubR;SubR->_parent = nullptr;}else{if (parent == pParent->_left){pParent->_left = SubR;}else{pParent->_right = SubR;}SubR->_parent = pParent;}
}
右旋：
void RotateR(Node* parent)
{Node* SubL = parent->_left;Node* SubLR = SubL->_right;Node* pParent = parent->_parent;// ----------------------连接SubLR与parent-----------------------parent->_left = SubLR;if (SubLR)SubLR->_parent = parent;// ----------------------连接SubL与parent-----------------------SubL->_right = parent;parent->_parent = SubL;// -----------------------连接SubL与pParentif (parent == _root) // -------------------判断parent是否为根结点{_root = SubL;SubL->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent){pParent->_left = SubL;}else{pParent->_right = SubL;}SubL->_parent = pParent;}
}

2.4、查找

遍历红黑树即可

Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else // --------------------找到了{return cur;}}return nullptr;}

2.5、判断平衡（验证）

bool IsBalanceTree()
{if (_root == nullptr) //--------------空树也是红黑树{return true;}if (_root->_col == RED) // -------------根结点为红色{return false;}int hb = CountBlackNode(); // --------------获取基准值return _IsbalanceTree(_root,0, hb); // ------------调用子函数
}// ---------------按左边或者最右边一条路径来统计黑色节点的数量，作为标准----------------------
int CountBlackNode()
{Node* cur = _root;int count = 0;while (cur){if (cur->_col == BLACK){count++;}cur = cur->_left;}return count;
}// 将每一条路径上的黑色节点数作为一个参数，将上面得到的黑色节点数（基准）作为参数用来和blacknum做对比
bool _IsbalanceTree(Node* root,int balackNum,int hb)
{if (root == nullptr){// ------------------前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了---------------------if (balackNum != hb){cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;return false;}return true;}// 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;return false;}if (root->_col == BLACK){balackNum++;}return _IsbalanceTree(root->_left, balackNum, hb) && _IsbalanceTree(root->_right, balackNum, hb);
}

http://www.dtcms.com/a/506770.html

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