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算法题（237）：滑雪

news 2025/10/19 11:02:03

审题：
本题需要我们找到从1号景点开始滑雪所能经过的最多景点数，以及经过最多景点时最小的滑雪路径和

思路：
方法一：dfs+kruskal算法

题意：

1.起点是1号节点

2.一共有n个节点，m条边

3.滑雪时只能从高处往下滑或者平着滑

4.由于有时间胶囊，所以可以无代价回溯节点

目标：

1.找到能经过的最多景点数

2.经过最多景点时最小的滑雪路径和

dfs深度优先遍历

由于可以无条件回溯节点，所以我们可以使用dfs遍历寻找到所有从1号节点出发能到达的节点，从而解决目标1

kruskal算法

目标2的意思是让我们找到"最小生成树"，从而将最小路径和求出。本题不是真正意义上的最小生成树，因为滑雪方向有限制，有些方向是不能通过的，不是无向图

解题：
（1）数据初始化
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 1e5 + 10, M = 2e6 + 10;
int n, m;
ll cnt, ret,pos;
int f[N],h[N];
bool st[N];
vector<pii> edges[M];//用于存储初始图
struct edge//用于存储纳入考虑的边
{int x, y, z;
}e[M];
关键1：要存储初始图以及kruskal算法使用的图

由于给定的图不一定是连通图，所以不是所有的边都要纳入kruskal算法的考量的，那么我们就需要先存储初始图，然后在dfs中再将从1号节点出发可以经过的边存储起来并提供给kruskal计算

（2）main函数
int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i];for (int i = 1; i <= m; i++){int a, b, c; cin >> a >> b >> c;//按照高度判断是否可以建立边if (h[a] >= h[b]) edges[a].push_back({ b,c });if (h[a] <= h[b]) edges[b].push_back({ a,c });}dfs(1);cout << cnt << " ";kruskal();cout << ret << endl;return 0;
}
关键2：初始图边的记录

1.a高于b：存储a->b的边

2.a等于b：存储a->b的边，b->a的边

3.b高于a:存储b->a的边

所以我们用两个if语句进行判断，并进行图的存储

（3）dfs
//dfs查找从1号节点可以到达的所有边,并求出最多可到达的节点数
void dfs(int num)
{cnt++;st[num] = true;for (auto& f : edges[num]){pos++;e[pos].x = num, e[pos].y = f.first, e[pos].z = f.second;if (!st[f.first]) dfs(f.first);}
}
每次进入dfs就相当于进入了一个新的节点，负责记录节点数的cnt++，并修改节点状态

然后对该节点的所有能去的地方进行遍历，这些边就是kruskal需要纳入考虑的

然后如果此时遍历的节点也是没有到过，dfs该节点

（4）kruskal算法
//排序逻辑函数
bool cmp(edge& a, edge& b)
{int y1 = a.y, z1 = a.z, y2 = b.y, z2 = b.z;if (h[y1] != h[y2]){return h[y1] > h[y2];}else{return z1 < z2;}
}
//并查集find函数
int find(int num)
{return f[num] == num ? num : f[num] = find(f[num]);
}
//kruskal
void kruskal()
{//并查集初始化for (int i = 1; i <= n; i++){f[i] = i;}//排序sort(e + 1, e + 1 + pos, cmp);for (int i = 1; i <= pos; i++){int x = e[i].x, y = e[i].y, z = e[i].z;int fx = find(x), fy = find(y);if (fx != fy){ret += z;f[fx] = fy;}}
}
关键3：排序逻辑

由于这里不是无向图，我们如果先滑到低点，就无法从低点滑到高点了，从而导致经过的点变少，故我们需要尽量先滑到较高点，若目标点高度一致，则让路径权值小的排前面

P2573 [SCOI2012] 滑雪 - 洛谷