【计算机算法设计与分析】分治算法

一、分治核心算法：把大麻烦拆成小麻烦

分治，顾名思义就是“分而治之”。想象你要拼一幅1000片的拼图，如果直接上手，肯定头晕眼花。但如果把它先分成10个100片的小区域，每个区域再分成更小的部分，拼起来就轻松多了。分治算法就是这个思路，核心是 “分解-求解-合并” 三步：

1. 分解：把一个大问题拆成几个结构相同、规模更小的子问题；
2. 求解：对子问题递归求解（如果子问题还大，就继续拆，直到小到能直接解决）；
3. 合并：把所有子问题的解合并成原问题的解。

 

1. 二分查找：在有序列表里“猜数字”

场景：在一本按字母排序的字典里找“Algorithm”这个词，总不能从第一页翻到最后吧？

步骤：

• 分解：看字典中间页，如果中间页的单词比“Algorithm”大，就只看前半本；如果小，就只看后半本。
• 求解：每次都把范围缩小一半，直到找到目标词或者确定没有。
• 合并：因为每次只找一半，不需要合并，找到就直接结束。

效果：如果有 $n$ 个元素，最多找 ${\log }_{2}n$ 次（比如1000个数，最多找10次），比从第一个开始挨个找快得多。其时间复杂度可通过递推关系 $T(n)=T(n/2)+O(1)$，结合主方法得 $T(n)=\Theta (\lg n)$。

 

2. 最大子数组：找股票最赚钱的买卖时机

场景：你有一段时间每天的股票价格，想找一天买、一天卖，赚最多的钱（如果一直跌，就尽量少亏）。

步骤：

• 分解：把这段时间的价格数组 $A[low..high]$ 分成前半段 $A[low..mid]$ 和后半段 $A[mid+\mathrm{1..}high]$。
• 求解：分别递归找前半段、后半段里最赚钱的买卖时机（即最大子数组和）。
• 合并：还要检查“前半段的某天买，后半段的某天卖”这种跨段情况——通过从中间向左遍历找最大左和，向右遍历找最大右和，两者相加得到跨段最大和，最终取三者中的最大值。

 

效果：
如果直接遍历所有可能的买卖组合，要算 $n^2$ 次（$n$ 是天数）；用分治，递推关系为 $T(n)=2T(n/2)+O(n)$，结合主方法得 $T(n)=\Theta (n\lg n)$，数据量大时效率大幅提升。

todo：另外：还有线性时间解法（$\Theta (n)$），通过累计和（SUM）和历史最大和（Bsum）动态更新，进一步简化计算。

 

3. 最近点对：找平面上离得最近的两个点

场景：在一张地图上有很多城市，想找距离最近的两个，方便建高铁。

步骤：

• 分解：把平面上的点集按横坐标排序后，取中点分成左边 $L$ 和右边 $R$ 两部分。
• 求解：分别递归找 $L$ 和 $R$ 中距离最近的点对，设其距离分别为 ${\delta }_L$ 和 ${\delta }_R$，令 $\delta =\min ({\delta }_L,{\delta }_R)$。
• 合并：仅需检查分界点左右 $\delta$ 范围内的点（带状区域），将这些点按纵坐标排序后，每个点只需与后续7个点比较（因 $\delta \times 2\delta$ 矩形内最多8个点，避免重复比较），找到跨越区域的最小距离 ${\delta }_c$，最终结果为
  $\min (\delta ,{\delta }_c)$。

效果：直接对比所有点对要算 $n^2$ 次（$n$ 是点数）；用分治，递推关系为 $T(n)=2T(n/2)+O(n)$，结合主方法得 $T(n)=\Theta (n\lg n)$，效率显著优化。

 

二、分治复杂度分析：算法到底有多快？

知道算法怎么用还不够，得知道它“跑得多快”。分治算法的复杂度分析，就是研究“拆问题、解问题、合并问题”这三步加起来，计算机要花多少时间。

1. 替换法：先猜后验证

就像猜谜语，先猜一个答案，再用数学归纳法验证对不对。

例子：针对递推式 $T(n)=2T(\lfloor n/2\rfloor )+n$（比如最大子数组问题），我们猜它的复杂度是 $T(n)=\Theta (n\lg n)$。

• 验证上界：假设存在常数 $c>1$，当 $n\ge 4$ 时，$T(n)\le cn\lg n$。由归纳假设，$T(\lfloor n/2\rfloor )\le c(n/2)\lg (n/2)$，代入递推式得：
  $T(n)\le 2\times c(n/2)(\lg n-1)+n=cn\lg n-cn+n\le cn\lg n$
• 验证下界：类似地，假设存在常数 $0<d<1/4$，可证明 $T(n)\ge dn\lg n$，最终确定 $T(n)=\Theta (n\lg n)$。

 

2. 序列求和法：把递归“展开”看

把递推式一层一层展开，像剥洋葱一样，最后把所有步骤的时间加起来，也可通过“递归树”直观呈现各层代价（树的所有节点代价之和即为总复杂度）。

例子：针对递推式 $T(n)=2T(n/2)+n\lg n$（$T(1)=O(1)$）：

• 令 $n=2^k$，转化为 $W(k)=2W(k-1)+k{2}^k$；
• 逐层展开： $W(k)=2^{k}W(1)+2^k{\sum }_{i=2}^{k}i$
• 化简求和项（调和级数或等差数列求和），最终得 $T(n)=\Theta (n{\lg }^{2}n)$。

详细解法：

步骤1： 变量替换，简化递归形式 由于原递推式中存在 $n/2$ 和 $\lg n$，直接展开容易出现复杂的分数和对数项，因此先通过变量替换统一形式：

• 令 $n=2^k$（$k$ 为非负整数，确保每次拆分后子问题规模为整数，例如 $n=8$ 时 $k=3$，$n=16$ 时 $k=4$）；
• 定义新函数 $W(k)=T(2^k)$（将原函数 $T$ 对 $n$ 的依赖，转化为 $W$ 对 $k$ 的依赖，消除 $n$ 这个中间变量）。
   

步骤2： 代入原递推式，转化为关于 $W(k)$ 的递归式 将 $n=2^k$ 和 $W(k)=T(2^k)$ 代入原递推式 $T(n)=2T(n/2)+n\lg n$，分步替换左右两边：

1. 左边替换：$T(n)=T(2^k)=W(k)$；
2. 右边第一项替换（$T(n/2)$）： 因为 $n=2^k$，所以 $n/2=2^k/2=2^{k-1}$，因此： $T(n/2)=T(2^{k-1})=W(k-1)$；
3. 右边第二项替换（$n\lg n$）： 先替换 $n=2^k$，再利用对数运算规则 $\lg (2^k)=k$（以 2 为底的对数，真数为底数的幂时，结果等于指数），因此： $n\lg n=2^k\cdot \lg (2^k)=2^k\cdot k=k\cdot 2^k$；
4. 合并右边：将两项替换结果代入，得到： 右边 = $2\cdot W(k-1)+k\cdot 2^k$。

最终，原递推式转化为： $W(k)=2W(k-1)+k\cdot 2^k$

 
步骤3： 逐层展开 $W(k)$，归纳通用规律 采用“序列求和法”，将 $W(k)$ 逐层展开，直到递归终止（即 $W(1)$，对应原问题的最小规模 $n=2^1=2$）：

1. 第1层（初始）：$W(k)=2W(k-1)+k\cdot 2^k$；

2. 第2层（展开 $W(k-1)$）： 由 $W(k-1)=2W(k-2)+(k-1)\cdot 2^{k-1}$，代入上式： $W(k)=2\left[2W(k-2)+(k-1)\cdot 2^{k-1}\right]+k\cdot 2^k=2^{2}W(k-2)+(k-1)\cdot 2^k+k\cdot 2^k$；

3. 第3层（展开 $W(k-2)$）： 同理，$W(k-2)=2W(k-3)+(k-2)\cdot 2^{k-2}$，代入得： $W(k)=2^{3}W(k-3)+(k-2)\cdot 2^k+(k-1)\cdot 2^k+k\cdot 2^k$；

4. 归纳通用形式：展开 $m$ 层后，可总结为： $W(k)=2^{m}W(k-m)+2^k\cdot {\sum }_{i=k-m+1}^{k}i$。

 
步骤4：确定递归终止条件，简化展开式 当递归终止时，子问题规模达到最小，即 $k-m=1$（此时 $W(k-m)=W(1)$，对应原问题 $T(2)=O(1)$），因此 $m=k-1$。将 $m=k-1$ 代入通用形式：
$W(k)=2^{k-1}W(1)+2^k\cdot {\sum }_{i=2}^{k}i$

其中：

• $2^{k-1}W(1)$：最小子问题的总代价，因 $W(1)=O(1)$，该项为 $O(2^k)$（常数乘以指数项）；
• $2^k\cdot {\sum }_{i=2}^{k}i$：所有中间合并步骤的总代价，核心是化简求和项 ${\sum }_{i=2}^{k}i$。

 
步骤5：化简求和项，计算 $W(k)$ 的复杂度 求和项 ${\sum }_{i=2}^{k}i$ 是从 2 到 $k$ 的等差数列，利用等差数列求和公式： ${\sum }_{i=2}^{k}i={\sum }_{i=1}^{k}i-1=\frac{k(k+1)}{2}-1$

忽略常数项（复杂度分析仅关注主导项），可近似为： ${\sum }_{i=2}^{k}i\approx \frac{k^2}{2}$

将其代入 $W(k)$ 的表达式： $W(k)\approx 2^{k-1}\cdot O(1)+2^k\cdot \frac{k^2}{2}=O(2^k)+k^2\cdot 2^{k-1}$

由于 $k^2\cdot 2^{k-1}$ 远大于 $O(2^k)$（当 $k$ 足够大时），主导项为 $k^2\cdot 2^{k-1}$，因此： $W(k)=\Theta (k^2\cdot 2^k)$
 
步骤6：还原为原变量 $n$，得到最终复杂度 根据最初的变量替换关系 $n=2^k$，可推出：

• $k=\lg n$（对数定义：若 $2^k=n$，则 $k=\lg n$）；
• $2^k=n$。

将 $k=\lg n$ 和 $2^k=n$ 代入 $W(k)=\Theta (k^2\cdot 2^k)$，得到： $T(n)=W(k)=\Theta \left((\lg n{)}^2\cdot n\right)=\Theta (n{\lg }^{2}n)$
 
最终结论 递推式 $T(n)=2T(n/2)+n\lg n$ 的时间复杂度为 $\boxed{\Theta (n{\lg }^{2}n)}$。

 

3. 主方法：分治的“快捷公式”

主方法是用序列求和法时得到的一些结果的总结。主方法主要有三条规则。检查递推关系满足哪条规则，如果满足，立马就有答案。

针对标准递推式 $T(n)=aT(n/b)+f(n)$（其中 $a\ge 1,b>1$，$a$ 是子问题数量，$b$ 是子问题规模缩小的比例，$f(n)$ 是分解与合并的总时间），计算 $k={\log }_{b}a$，再根据 $f(n)$ 与 $n^k$ 的关系套用以下规则：

• 规则1：若存在 $ϵ>0$，使得 $f(n)=O(n^{k-ϵ})$，则 $T(n)=\Theta (n^k)$（子问题代价主导）；
• 规则2：若 $f(n)=\Theta (n^k)$，则 $T(n)=\Theta (n^k\lg n)$（子问题与合并代价平衡）；
• 规则3：若存在 $ϵ>0$，使得 $f(n)=\Omega (n^{k+ϵ})$，且存在 $c<1$ 满足正则条件 $af(n/b)\le cf(n)$，则 $T(n)=\Theta (f(n))$（合并代价主导）。

便可求出复杂度。

 

例子：二分查找的递推式是 $T(n)=T(n/2)+O(1)$，其中 $a=1,b=2$，则 $k={\log }_{2}1=0$，$f(n)=O(1)=\Theta (n^0)$，套用规则2得 $T(n)=\Theta (\lg n)$，与直觉一致。