证明：曲线的可导点不能同时为极值点和拐点

设函数$f(x)$在某点$x_0$处可导,并且满足：

• $x_0$是极值点,即$f^{\prime }(x_0)=0$；
• $x_0$是拐点,即曲率发生变化,或者等价地,$f^{\prime \prime }(x)$在$x_0$处变号。

1. 极值点的性质

由于$x_0$是极值点,必要条件是$f^{\prime }(x_0)=0$。此外,在极值点附近,二阶导数$f^{\prime \prime }(x_0)$需要满足：

• 若$f^{\prime \prime }(x_0)>0$,则$x_0$处为局部极小值点(函数在此点呈“凹”形)。
• 若$f^{\prime \prime }(x_0)<0$,则$x_0$处为局部极大值点(函数在此点呈“凸”形)。

2. 拐点的性质

拐点的定义是曲率发生变化,即$f^{\prime \prime }(x)$在$x_0$处变号。这意味着：
在$x_0$左侧,$f^{\prime \prime }(x)$和右侧的符号相反。

3. 产生矛盾

在极值点$x_0$,$f^{\prime \prime }(x_0)$不等于零,否则无法判定极值的凹凸性；
但如果$f^{\prime \prime }(x)$变号,则必须存在某个点$x_0$使得$f^{\prime \prime }(x_0)=0$,否则变号无法发生；
这与极值点的二阶导数非零(保证极值的充分性)矛盾。

因此,可导函数的极值点不可能是拐点。