如何求「加减 value 任意次后的最大 MEX」同余类求解
算法解析：如何求「加减 value 任意次后的最大 MEX」
前言
最近在刷题时遇到一道有趣的题目：
给你一个整数数组
nums和一个整数value，你可以对数组中的任意元素做任意次加上或减去value的操作。
问：执行任意操作后，数组的 最大 MEX（最小缺失非负整数）是多少？
乍一看，这题和普通 MEX 题不一样，它引入了“±value 操作”，需要一点数学和余数类的知识才能高效解决。
一、理解题目
关键点：
- 每个数可以 ±
value任意次。 - MEX（Minimum EXcluded）是数组中缺失的最小非负整数。
- 我们想找到 在操作任意次后，数组能覆盖的最大连续非负整数序列。
二、核心思想：同余类
1. 同余类定义
给定正整数 m，两个整数 a 和 b 如果满足：
a ≡ b (mod m)
也就是 (a - b) 可以被 m 整除，那么 a 和 b 属于同一 同余类。
同余类 [a]_m 定义为：
[a]_m = { a + k*m | k ∈ Z }
也就是说，同余类里的每个数模 m 后余数相同。
2. 为什么本题与同余类相关？
题目允许 ±value 操作：
num → num + k*value
那么每个数 只能生成它所在同余类中的数：
- 余数 =
(num % value + value) % value - 类内数值可正可负，形如
num + k*value
例如：
num = 2, value = 3
可生成数 = ..., -4, -1, 2, 5, 8, ...
所有数模 3 = 2
三、算法步骤
1. 统计每个同余类数量
int[] count = new int[value];
for (int num : nums) {int r = ((num % value) + value) % value;count[r]++;
}
count[r]表示余数类r中的元素数量- 数组长度 =
value，因为余数类编号[0, value-1]
2. 贪心计算最大 MEX
从 mex = 0 开始：
-
计算
mod = mex % value -
检查
count[mod] > 0- 如果有 → 用掉一个 →
mex++ - 如果没有 → 当前
mex就是最大 MEX
- 如果有 → 用掉一个 →
int mex = 0;
while (true) {int mod = mex % value;if (count[mod] > 0) {count[mod]--;mex++;} else {break;}
}
return mex;
四、示例讲解
nums = [1, -10, 7, 13, 6, 8]
value = 5
1. 计算同余类
| num | mod = ((num%5)+5)%5 | 类 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| -10 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 2 |
| 13 | 3 | 3 |
| 6 | 1 | 1 |
| 8 | 3 | 3 |
统计：
count = [1, 2, 1, 2, 0]
2. 贪心生成 MEX
| mex | mex%5 | count[mex%5] | 操作结果 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 用掉 → count[0]=0 → mex++=1 |
| 1 | 1 | 2 | 用掉 → count[1]=1 → mex++=2 |
| 2 | 2 | 1 | 用掉 → count[2]=0 → mex++=3 |
| 3 | 3 | 2 | 用掉 → count[3]=1 → mex++=4 |
| 4 | 4 | 0 | 没有 → 停止 |
最大 MEX = 4
五、时间复杂度
- 遍历数组统计同余类：
O(n) - 贪心计算 MEX：每次最多
O(n)次（因为每个元素最多用一次） - 总复杂度：
O(n)
空间复杂度：O(value)
六、总结
- 同余类是解决这类题目的关键：±value 的操作只改变数值，不改变余数类。
- 贪心 MEX：每次用掉余数类里一个元素生成对应的非负整数。
- 公式
(num % value + value) % value保证余数非负，防止负数取模出错。 - 算法高效、易于实现。
🔗 参考代码（Java）
public int findSmallestInteger(int[] nums, int value) {int[] count = new int[value];for (int num : nums) {int r = ((num % value) + value) % value;count[r]++;}int mex = 0;while (true) {int mod = mex % value;if (count[mod] > 0) {count[mod]--;mex++;} else {break;}}return mex;
}