conv([1 1], [1 2]) % 输出 [1 3 2]（对应 (x+1)(x+2) = x²+3x+2）

 conv([1 1], [1 2]) 是离散卷积运算，其结果 [1 3 2] 恰好对应多项式乘法 (x+1)(x+2)=x2+3x+2 的系数。这一现象体现了卷积与多项式乘法的内在联系 ——两个序列的卷积等价于它们对应多项式的乘积系数。

以下是详细计算过程：

步骤 1：明确输入序列

• 输入序列 f=[1,1]（可视为多项式 f(x)=1⋅x1+1⋅x0 的系数）
• 卷积核 g=[1,2]（可视为多项式 g(x)=1⋅x1+2⋅x0 的系数）

步骤 2：离散卷积的核心操作（翻转→平移→相乘→求和）

离散卷积公式：h[n]=∑k​f[k]⋅g[n−k]，其中 k 是索引，n 是结果的索引。

① 翻转卷积核

将卷积核 g 沿索引翻转（左右颠倒），得到 gflip​=[2,1]。

② 平移卷积核并计算每个位置的结果

卷积结果的长度为 输入长度 + 卷积核长度 - 1，即 2+2−1=3，因此结果有 3 个元素（索引 n=0,1,2）。

• 当 n=0 时：翻转后的卷积核 [2,1] 左移，仅与输入序列的第一个元素对齐：h[0]=f[0]⋅gflip​[0]=1⋅1=1（注：此处实际是 g[0−0]=g[0]=1，因翻转后位置对应关系简化）

• 当 n=1 时：翻转后的卷积核右移 1 位，与输入序列的两个元素对齐：h[1]=f[0]⋅gflip​[1]+f[1]⋅gflip​[0]=1⋅2+1⋅1=2+1=3

• 当 n=2 时：翻转后的卷积核右移 2 位，仅与输入序列的最后一个元素对齐：h[2]=f[1]⋅gflip​[1]=1⋅2=2

步骤 3：最终结果

卷积结果为 h=[1,3,2]，与多项式乘法 (x+1)(x+2)=x2+3x+2 的系数完全一致。

为什么卷积等价于多项式乘法？

• 序列的每个元素对应多项式的系数（按次数从低到高排列）；
• 卷积的 “加权求和” 本质上是多项式中同次项系数的合并（如 x1 项的系数由 1⋅2+1⋅1=3 得到）。

这一特性使得卷积在信号处理、多项式计算等领域有重要应用。