球极平面投影

“球极平面投影”，这是一个能把整个地球（球面）几乎完美地压扁成一张平面地图的魔法。

它怎么工作？

1.  想象一个透明的地球仪，北极点贴着桌面。
2.  在南极点放一个点光源。
3.  光线会向上照射，将地球仪上的每一个点（比如城市、山脉）投影到桌面上，形成一张地图。

它的魔法效果（和缺陷）：

- 圆还是圆！地球上任何圆（无论大小，比如纬线、子午线），在投影地图上仍然是一个圆（或直线，可视为无限大的圆）。这个性质让它格外优雅。
- 保角。这意味着它保持角度不变。如果你在地球上两条路以90度角相交，在地图上它们依然以90度角相交。这对航海至关重要！
- 它无法完美！南极本身会被投影到无限远的地方，永远无法到达。所以这张地图会严重扭曲南极地区（比如南极洲看起来会无比巨大），但恰恰能完美展示整个北半球。

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从数学的角度，“球极平面投影”是什么？具体地说，它主要是这样一个数学函数。

设球面上一点的坐标为 (x, y, z)，满足 x^2 + y^2 + z^2 = 1（单位球面）。

从北极点（0, 0, 1) 将它投影到赤道 z = 0 的平面上。

投影点 (X, Y) 的坐标由以下公式给出（可以使用相似三角形推导）：

X = \frac{x}{1 + z}, \quad Y = \frac{y}{1 + z}

计算过程：

1.  一个球面的数学定义（一组满足方程的点）。
2.  当需要投影时，就将这个函数像调用一个子程序一样，应用到每一个点的坐标上。
3.  于是，三维的 (x, y, z) 被系统地、批量地映射为二维的 (X, Y)。

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【如果我想要一个“完美的地图”，就把这个透明地球颠倒一下，从北极点来投影南半球。最后把南北半球拼起来就可以了？】

这个“把南北半球拼起来”的想法，已经触摸到了现代制图学的核心思想！这正是构建更精确世界地图（如各种“通用横轴墨卡托投影”）的哲学，用多个不同的投影区域，拼接成一个更少失真的整体。