滑动窗口题目：K 个不同整数的子数组

题目

标题和出处

标题：K 个不同整数的子数组

出处：992. K 个不同整数的子数组

难度

7 级

题目描述

要求

给定一个整数数组 $\text{nums}$ 和一个整数 $\text{k}$，返回 $\text{nums}$ 中的好子数组的数目。

好子数组是恰好有 $\text{k}$ 个不同整数的数组。

• 例如，$\text{[1,2,3,1,2]}$ 中有 $\text{3}$ 个不同的整数：$\text{1}$、$\text{2}$ 和 $\text{3}$。

子数组是数组的连续部分。

示例

示例 1：

输入：$\text{nums = [1,2,1,2,3], k = 2}$
输出：$\text{7}$
解释：恰好由 $\text{2}$ 个不同整数组成的子数组：$\text{[1,2]}$、$\text{[2,1]}$、$\text{[1,2]}$、$\text{[2,3]}$、$\text{[1,2,1]}$、$\text{[2,1,2]}$、$\text{[1,2,1,2]}$。

示例 2：

输入：$\text{nums = [1,2,1,3,4], k = 3}$
输出：$\text{3}$
解释：恰好由 $\text{3}$ 个不同整数组成的子数组：$\text{[1,2,1,3]}$、$\text{[2,1,3]}$、$\text{[1,3,4]}$。

数据范围

• $\text{1}\le \text{nums.length}\le \text{2}\times {\text{10}}^{\text{4}}$
• $\text{1}\le \text{nums[i], k}\le \text{nums.length}$

解法

思路和算法

考虑数组 $\text{nums}$ 的下标范围 $[{\text{start}}_1,\text{end}]$ 和 $[{\text{start}}_2,\text{end}]$ 的两个子数组，其中 ${\text{start}}_1<{\text{start}}_2$。如果这两个子数组的不同整数个数都是 $k$，则对于任意 ${\text{start}}_1<{\text{start}}_3<{\text{start}}_2$，下标范围 $[{\text{start}}_3,\text{end}]$ 的子数组的不同整数个数也是 $k$。理由如下。

已知下标范围 $[{\text{start}}_1,\text{end}]$ 的子数组和下标范围 $[{\text{start}}_2,\text{end}]$ 的子数组的不同整数个数都是 $k$。用 $k^{\prime }$ 表示下标范围 $[{\text{start}}_3,\text{end}]$ 的子数组的不同整数个数。由于下标范围 $[{\text{start}}_3,\text{end}]$ 的子数组比下标范围 $[{\text{start}}_2,\text{end}]$ 的子数组多了下标范围 $[{\text{start}}_3,{\text{start}}_2-1]$ 的元素，因此 $k^{\prime }\ge k$。由于下标范围 $[{\text{start}}_3,\text{end}]$ 的子数组比下标范围 $[{\text{start}}_1,\text{end}]$ 的子数组少了下标范围 $[{\text{start}}_1,{\text{start}}_3-1]$ 的元素，因此 $k^{\prime }\le k$。由于 $k^{\prime }\ge k$ 和 $k^{\prime }\le k$ 同时成立，因此 $k^{\prime }=k$。

因此，以 $\text{end}$ 作为结束下标且有 $k$ 个不同整数的子数组的开始下标是连续的。只要得到每个结束下标对应的有 $k$ 个不同整数的子数组中的最长子数组和最短子数组，即可得到有 $k$ 个不同整数的子数组的数目。

同理可得，当 ${\text{end}}_1<{\text{end}}_2$ 时，以 ${\text{end}}_1$ 作为结束下标且有 $k$ 个不同整数的最长子数组的开始下标小于等于以 ${\text{end}}_2$ 作为结束下标且有 $k$ 个不同整数的最长子数组的开始下标，以 ${\text{end}}_1$ 作为结束下标且有 $k$ 个不同整数的最短子数组的开始下标小于等于以 ${\text{end}}_2$ 作为结束下标且有 $k$ 个不同整数的最短子数组的开始下标。

可以使用两个变长滑动窗口实现。用 $[{\text{start}}_1,\text{end}]$ 表示寻找有 $k$ 个不同整数的子数组中的最长子数组的滑动窗口，用 $[{\text{start}}_2,\text{end}]$ 表示寻找有 $k$ 个不同整数的子数组中的最短子数组的滑动窗口，初始时 ${\text{start}}_1={\text{start}}_2=\text{end}=0$。将两个滑动窗口的右端点 $\text{end}$ 向右移动，移动过程中维护两个滑动窗口的左端点 ${\text{start}}_1$ 和 ${\text{start}}_2$。

使用两个哈希表分别记录两个滑动窗口中的每个元素的出现次数，两个哈希表分别为最长子数组哈希表和最短子数组哈希表。对于每个右端点 $\text{end}$，执行如下操作。

1. 将 $\text{nums}[\text{end}]$ 在两个哈希表中的次数各加 $1$。

2. 如果最长子数组哈希表中的元素个数大于 $k$，则将 $\text{nums}[{\text{start}}_1]$ 在最长子数组哈希表中的次数减 $1$，如果 $\text{nums}[{\text{start}}_1]$ 在最长子数组哈希表中的次数变成 $0$ 则将 $\text{nums}[{\text{start}}_1]$ 从最长子数组哈希表中删除，然后将 ${\text{start}}_1$ 向右移动一位，重复该操作直到最长子数组哈希表中的元素个数小于等于 $k$。

3. 如果最短子数组哈希表中的元素个数大于等于 $k$，则将 $\text{nums}[{\text{start}}_2]$ 在最短子数组哈希表中的次数减 $1$，如果 $\text{nums}[{\text{start}}_2]$ 在最短子数组哈希表中的次数变成 $0$ 则将 $\text{nums}[{\text{start}}_2]$ 从最短子数组哈希表中删除，然后将 ${\text{start}}_2$ 向右移动一位，重复该操作直到最短子数组哈希表中的元素个数小于 $k$。

4. 下标范围 $[{\text{start}}_1,\text{end}]$ 的子数组为以 $\text{end}$ 作为结束下标且有 $k$ 个不同整数的最长子数组，下标范围 $[{\text{start}}_2-1,\text{end}]$ 的子数组为以 $\text{end}$ 作为结束下标且有 $k$ 个不同整数的最短子数组，因此以 $\text{end}$ 作为结束下标且有 $k$ 个不同整数的子数组的数目是 ${\text{start}}_2-{\text{start}}_1$，将 ${\text{start}}_2-{\text{start}}_1$ 加到答案中。

遍历结束之后，即可得到数组 $\text{nums}$ 中的有 $k$ 个不同整数的子数组的数目。

实现方面，由于数组 $\text{nums}$ 中的元素都是不超过 $\text{nums}$ 的长度的正整数，因此可以创建两个长度为 $\text{nums}$ 的长度加 $1$ 的数组代替两个哈希表，使用两个计数器分别表示每个哈希表中的元素个数。初始时，计数器的值为 $0$。每次更新元素在哈希表中的次数之后，需要更新计数器的值，更新方法如下。

• 当一个元素在哈希表中的次数加 $1$ 之后，如果次数变成 $1$，则将计数器的值加 $1$。

• 当一个元素在哈希表中的次数减 $1$ 之后，如果次数变成 $0$，则将计数器的值减 $1$。

代码

class Solution {public int subarraysWithKDistinct(int[] nums, int k) {int subarrays = 0;int length = nums.length;int[] counts1 = new int[length + 1];int[] counts2 = new int[length + 1];int distinct1 = 0, distinct2 = 0;int start1 = 0, start2 = 0, end = 0;while (end < length) {int curr = nums[end];counts1[curr]++;if (counts1[curr] == 1) {distinct1++;}counts2[curr]++;if (counts2[curr] == 1) {distinct2++;}while (distinct1 > k) {int prev1 = nums[start1];counts1[prev1]--;if (counts1[prev1] == 0) {distinct1--;}start1++;}while (distinct2 >= k) {int prev2 = nums[start2];counts2[prev2]--;if (counts2[prev2] == 0) {distinct2--;}start2++;}subarrays += start2 - start1;end++;}return subarrays;}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组 $\text{nums}$ 的长度。每个滑动窗口的左右端点最多各遍历数组 $\text{nums}$ 一次。

• 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组 $\text{nums}$ 的长度。空间复杂度主要取决于哈希表，由于数组 $\text{nums}$ 中的元素都是不超过 $\text{nums}$ 的长度的正整数，因此每个哈希表中最多有 $n$ 个元素。