3D坐标旋转公式

介绍

3D坐标旋转公式的推导通常涉及绕坐标轴（x轴、y轴、z轴）的旋转。这些旋转可以用旋转矩阵表示。以下将详细推导绕每个坐标轴的旋转公式，基于三角函数和向量投影的概念。假设使用右手坐标系，旋转角度为θ，且旋转为正旋转（符合右手定则：拇指指向轴的正方向，手指弯曲方向为旋转正方向）。

1. 绕z轴旋转

当点绕z轴旋转时，其z坐标保持不变，而x和y坐标的变化类似于2D平面旋转。考虑点P(x, y, z)，绕z轴旋转θ角度后得到点P’(x’, y’, z’)。

设点P在xy平面上的投影与x轴的夹角为φ，则：
$$x=r\cos \varphi ,y=r\sin \varphi$$
其中r是点P到z轴的距离（投影半径）。旋转后，夹角变为φ + θ，因此：
$$x^{\prime }=r\cos (\varphi +\theta )=r(\cos \varphi \cos \theta -\sin \varphi \sin \theta )=x\cos \theta -y\sin \theta$$
$$y^{\prime }=r\sin (\varphi +\theta )=r(\sin \varphi \cos \theta +\cos \varphi \sin \theta )=x\sin \theta +y\cos \theta$$
$$z^{\prime }=z$$
因此，绕z轴旋转的矩阵为：
$$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2. 绕x轴旋转

当点绕x轴旋转时，其x坐标保持不变，而y和z坐标的变化类似于2D旋转在yz平面内。考虑点P(x, y, z)，绕x轴旋转θ角度后得到点P’(x’, y’, z’)。

设点P在yz平面上的投影与y轴的夹角为φ，则：
$$y=r\cos \varphi ,z=r\sin \varphi$$
其中r是点P到x轴的距离。旋转后，夹角变为φ + θ，因此：
$$y^{\prime }=r\cos (\varphi +\theta )=r(\cos \varphi \cos \theta -\sin \varphi \sin \theta )=y\cos \theta -z\sin \theta$$
$$z^{\prime }=r\sin (\varphi +\theta )=r(\sin \varphi \cos \theta +\cos \varphi \sin \theta )=y\sin \theta +z\cos \theta$$
$$x^{\prime }=x$$
因此，绕x轴旋转的矩阵为：
$$R_x(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

3. 绕y轴旋转

当点绕y轴旋转时，其y坐标保持不变，而x和z坐标的变化类似于2D旋转在xz平面内。但需要注意的是，从正y轴看（视线沿负y方向），正旋转为顺时针方向。因此，在xz平面内的旋转相当于2D顺时针旋转。

考虑点P(x, y, z)，绕y轴旋转θ角度后得到点P’(x’, y’, z’)。在xz平面内，点P的投影坐标为(x, z)，旋转后为(x’, z’)。对于2D顺时针旋转，有：
$$x^{\prime }=x\cos \theta +z\sin \theta$$
$$z^{\prime }=-x\sin \theta +z\cos \theta$$
$$y^{\prime }=y$$
因此，绕y轴旋转的矩阵为：
$$R_y(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]$$