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激活值的内存公式

首先明确变量含义

在Transformer模型的内存分析中，这些变量通常表示：

• $s$：序列长度（sequence length，输入文本的token数量）；
• $b$：批次大小（batch size，一次训练的样本数）；
• $h$：隐藏层维度（hidden dimension，每个token的特征向量维度）；
• $a$：注意力头数（number of attention heads，多头注意力的头数量）。

左边项：$sbh\times 34$（MLP及点乘操作的激活值）

Transformer的每个编码器/解码器层包含多头注意力和MLP两个核心模块，这两个模块会产生大量中间激活值（需要临时存储的张量），这些激活值的总内存可以汇总为$sbh\times 34$，具体拆解如下：

1. 多头注意力模块的激活值（约12$sbh$）

多头注意力的核心计算流程为：
输入$x$（形状$b\times s\times h$）→ 线性变换生成$Q,K,V$ → 计算注意力分数 → 与$V$加权求和 → 输出线性变换。
其中需要存储的激活值包括：

• $Q,K,V$：每个都是$b\times s\times h$（总3$sbh$）；
• 注意力输出的中间结果（与$V$加权求和后，未经过最终线性变换）：$b\times s\times h$（1$sbh$）；
• 多头注意力的最终输出（经过线性变换后）：$b\times s\times h$（1$sbh$）；
• 层归一化（LayerNorm）的中间变量（如归一化前的残差、均值、方差等）：约2$sbh$；
• 其他点乘操作（如$Q$与$K^T$的中间结果，虽然是二次项，但此处“点乘”可能指线性变换的矩阵乘法输出）：约5$sbh$（不同实现细节可能有差异）。

2. MLP模块的激活值（约22$sbh$）

MLP通常由“线性变换→激活函数→线性变换”组成，且中间维度会扩展（通常为$4h$），激活值包括：

• 第一个线性变换的输出（扩展到$4h$）：$b\times s\times 4h$（4$sbh$）；
• 激活函数（如GELU）的输出（与上一步同形状）：$b\times s\times 4h$（4$sbh$）；
• 第二个线性变换的输出（还原到$h$）：$b\times s\times h$（1$sbh$）；
• 层归一化的中间变量（残差、均值、方差等）：约2$sbh$；
• 其他辅助计算（如dropout的掩码、临时缓存等）：约11$sbh$（不同框架实现差异较大）。

总和：约34$sbh$

多头注意力（12$sbh$）+ MLP（22$sbh$）的激活值总和约为34$sbh$，这就是左边项的来源。

右边项：$5ab{s}^2$（softmax及注意力的二次项）

注意力机制中存在与序列长度$s$相关的二次项激活值（形状含$s\times s$），这些是内存消耗的“大头”，具体来源如下：

1. 注意力分数矩阵（核心二次项）

多头注意力中，$Q$（$b\times a\times s\times h/a$）与$K^T$（$b\times a\times h/a\times s$）的点积会生成注意力分数矩阵，形状为$b\times a\times s\times s$（每个头、每个样本都有一个$s\times s$的矩阵），其内存为$b\times a\times s\times s=ab{s}^2$。

2. softmax的中间激活值

对注意力分数矩阵应用softmax后，结果仍为$b\times a\times s\times s$（与输入同形状），需要额外存储，内存也是$ab{s}^2$。

3. 其他二次项

• 注意力权重（softmax输出）与$V$（$b\times a\times s\times h/a$）相乘的中间结果（未拼接多头前）：约$2ab{s}^2$（不同实现的临时缓存）；
• 掩码（mask）相关的临时张量（如填充掩码、因果掩码）：约$ab{s}^2$。

总和：约5$ab{s}^2$

上述二次项激活值总和约为5$ab{s}^2$，即$sbh\times 5\frac{as}{h}$（推导：$\frac{as}{h}\times sbh=ab{s}^2$）。

总结

激活值的内存公式是对Transformer层中两类核心激活值的汇总：

• 左边$34sbh$：来自MLP和注意力中的“线性变换输出”（与$s$、$b$、$h$线性相关）；
• 右边$5ab{s}^2$：来自注意力机制中的“二次项”（与$s^2$相关，是长序列场景下的内存瓶颈）。

这两类激活值共同决定了Transformer在训练/推理时的内存占用，尤其是当$s$很大时（如长文本），二次项$ab{s}^2$会成为主导因素。