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【数据结构】二叉搜索树 C++ 简单实现：增删查改全攻略

news 2025/10/7 5:33:24

前言：

1、什么是二叉搜索树？

2、二叉搜索树性能分析

3、key类型二叉搜索树的实现

节点结构

类结构

3.1、插入

3.2、中序遍历

3.3、查找

3.4、删除

4、key_value类型二叉搜索树的实现

节点结构

类结构

4.1、构造函数

4.1.1 默认构造

4.1.2 拷贝构造

4.2、赋值重载

4.3、析构

4.4、插入

总结

前言：

今天这篇，我们就从‘0’开始搭一棵 C++ 二叉搜索树：先定义节点结构，再实现最核心的‘插入’和‘查找’，最后攻克最难的‘删除’（包括叶子节点、单孩子节点、双孩子节点三种情况）。全程不跳步、不埋坑，写完后你不仅能运行代码，更能说清‘每一步为什么这么做’。”

1、什么是二叉搜索树？

二叉搜索树又称二叉排序树，如图，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 左子树上所有节点的值都小于等于根结点的值；

• 右子树上所有节点的值都大于等于根结点的值；

• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

注意：二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值，multimap/multiset支持插入相等值

2、二叉搜索树性能分析

在最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为： log2 N

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为： N

所以平均时间的时间复杂度为 O(log n)，最差情况为 O(n)。

说明：虽然二分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。

2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。

3、key类型二叉搜索树的实现

为什么是key类型二叉搜索树呢？因为我们后面要讲的set/multiset/map/multimap容器的底层数据结构就红黑树（Red-Black Tree）—— 一种 “近似平衡” 的二叉搜索树（BST）。但不同的是，对于set/multiset容器，如下图，集合（Sets）是一种容器，它按照特定顺序存储唯一的元素。

节点结构

template<class K>
struct BSTNode
{K _key;            // 存储数据BSTNode<K>* _left; // 指向左节点的指针BSTNode<K>* _right;// 指向右节点的指针BSTNode(const K& key = 0) //默认构造:_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr){ }
};

类结构

template<class K>
class BSTree
{//typedef BSTNode<K> Node; // typedef对节点对象重命名using Node = BSTNode<K>; // 使用using重命名
public:// ...
private:Node* _root = nullptr; // 成员变量
};

说明：下面我们实现过程中默认为值不重复的情形

3.1、插入

思路：

（1）树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

（2）树不空，按二叉搜索树性质，用cur指针遍历二叉搜索树，用一个parent指针记下父亲节点，要插入值key比当前节点大往右走，插入值比当前结点小往左走，直到找到空位置，插入新结点。

（4）确定要插入的节点在父亲节点的左边还是右边，即当_key < parent->_key则将新节点插入到parent的左边，反之则插入到右边。

（5）如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。但是，要确定相同的值要么都往左边走或者都往右边走。

//-------------------------------代码实现-------------------------------------------------
bool Insert(const K& key)
{Node* node = new Node(key);// 处理空树if (_root == nullptr){_root = node;return true;}Node* parent = nullptr; // 记下父亲节点的指针，方便最后连接新节点Node* cur = _root;// 遍历二叉搜索树while (cur){if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}// 确定新节点最后的插入位置if (key < parent->_key){parent->_left = node;}else{parent->_right = node;}
}

3.2、中序遍历

根据二叉搜索树的特性，其中序遍历的结果恰好为一个有序序列（升序）。

为了解决函数调用传参的问题，因为中序遍历的参数_root是成员变量，在类外面调用无法访问成员变量而无法传参，所以，用子函数方式来实现。

// 中序遍历
void MidOrder()
{_MidOrder(_root);
}
// 子函数
void _MidOrder(Node* _root)
{if (_root == nullptr){return;}_MidOrder(_root->_left);cout << _root->_key << " ";_MidOrder(_root->_right);
}

3.3、查找

思路：

（1）从根开始比较，查找val，val比根的值大则往右边走查找，val比根值小则往左边走查找。

（2）最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在，返回false。

（3）如果不支持插入相等的值，找到x即可返回。

bool Find(const K& val)
{Node* cur = _root;// 遍历查找while (cur){if (val < cur->_key){cur = cur->_left;}else if (val > cur->_key){cur = cur->_right;}else if (val == cur->_key){return true;}else{return false;}}
}

3.4、删除

思路：

（1）要删除节点N的位置有四种情况：

a. 结点N左右孩子均为空；b. 结点N左孩子为空，右孩子结点不为空；c. 结点N右孩子位空，左孩子结点不为空；d. 结点N左右孩子结点均不为空。

（2）对于左右孩子都为空的情况，我们可以将其放在左孩子为空和右孩子为空的情况中处理。即将上面四种情况重新分为：左为空；右为空；左右都不为空三种。

（3）对于左为空，要删除节点N可能为根结点，则让该节点的右节点作为新的根结点；或者是父节点的左节点，则让父节点的_left指针指向节点N的右边；或者父节点的右节点，则让父节点的_right指针指向节点N的左边，右为空类似。

（4）对于左右都不为空，无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除，找N左子树的值最大结点 R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

bool Earse(const K& val)
{Node* cur = _root;Node* parent = cur;// 遍历先找到N节点while (cur){if (val < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (val > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}// 找到N节点else{// 左为空if (cur->_left == nullptr){// 根结点if (_root->_key == val){_root = _root->_right;}else if (cur == parent->_left)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;delete cur;}// 右为空else if (cur->_right == nullptr){// 根结点if (_root->_key == val){_root = _root->_left;}else if (cur == parent->_right)parent->_right = cur->_left;elseparent->_left = cur->_left;delete cur;}// 左右孩子均不为空else{Node* replaceparent = cur;Node* replace = cur->_right;// 找左子树中最小值的节点Rwhile (replace->_left){replaceparent = replace;replace = replace->_left;}// 替换节点N与节点R的值cur->_key = replace->_key;if (replace == replaceparent->_left){replaceparent->_left = replace->_right;}else{cur->_right = replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;
}

4、key_value类型二叉搜索树的实现

为什么还有key_value类型二叉搜索树呢？对于map/multimap容器，如下图，映射（Maps）是一种关联容器，它按照特定顺序存储由 “键值（key value）” 和 “映射值（mapped value）” 组合而成的元素。

节点结构

与key类型相比，只是多了个_value。

template<class K, class V>
struct BSTNode
{K _key;V _value;BSTNode<K, V>* _left;BSTNode<K, V>* _right;BSTNode(const K& key = 0, const V& value = 0):_key(key), _value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};

类结构

template<class K, class V>
class BSTree
{using Node = BSTNode<K, V>;
public:// ...
private:Node* _root = nullptr;
};

说明：对于key_value类型我们实现一下其构造，析构等，除了插入操作与key类型有一点不同外，其他操作基本相同，所以我们不再重复解释。

4.1、构造函数

4.1.1 默认构造

// C++11强制生成默认构造
BSTree() = default;

4.1.2 拷贝构造

// 拷贝构造（深拷贝）
BSTree(const BSTree& tree)
{_root = copy(tree._root);
}Node* copy(Node* root)
{if (root == nullptr){return nullptr;}// 前序遍历（递归）Node* newroot = new Node(root->_key, root->_value);newroot->_left = copy(root->_left);newroot->_right = copy(root->_right);return newroot;
}

4.2、赋值重载

// 赋值重载(现代写法)
BSTree& operator=(BSTree tree)
{swap(_root, tree._root);return *this;
}

4.3、析构

// 析构函数
~BSTree()
{Destry(_root);_root = nullptr;
}void Destry(Node* root)
{if (root == nullptr){return;}// 后序遍历：防止根结点被释放而找不到左右孩子节点Destry(root->_left);Destry(root->_right);delete root;
}

4.4、插入

bool Insert(const K& key, const V& value)
{Node* node = new Node(key, value);if (_root == nullptr){_root = node;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}if (key < parent->_key){parent->_left = node;}else{parent->_right = node;}return true;
}