【Leetcode hot 100】51.N皇后
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51.N皇后
问题描述
按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
示例 1：
输入：n = 4
输出：[[“.Q…”,“…Q”,“Q…”,“…Q.”],[“…Q.”,“Q…”,“…Q”,“.Q…”]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。
示例 2：
输入：n = 1
输出：[[“Q”]]
提示：
1 <= n <= 9
问题解答
解题思路
- 核心约束：皇后不能同行、同列、同斜线（45°和135°），因此可通过「按行放置」规避同行问题（每行仅放1个皇后）。
- 回溯逻辑：
- 终止条件：当遍历到第
n行（行号从0开始）时，说明所有皇后已合法放置，将当前棋盘加入结果集。 - 递归尝试：对当前行的每一列，判断该位置是否合法（无同列、同斜线皇后），若合法则放置皇后，递归处理下一行，最后回溯（撤销当前皇后，尝试下一列）。
- 终止条件：当遍历到第
- 合法性校验：
- 检查当前列的上方是否有皇后（同列约束）。
- 检查当前位置左上斜线（行-1、列-1方向）是否有皇后（45°约束）。
- 检查当前位置右上斜线（行-1、列+1方向）是否有皇后（135°约束）。
完整 Java 代码
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;class Solution {// 存储所有合法的 N 皇后方案private List<List<String>> result = new ArrayList<>();public List<List<String>> solveNQueens(int n) {// 初始化棋盘：n×n 大小，初始值为 '.'（空位）char[][] chessboard = new char[n][n];for (char[] row : chessboard) {Arrays.fill(row, '.');}// 从第 0 行开始回溯backtrack(n, 0, chessboard);return result;}/*** 回溯函数：尝试在第 row 行放置皇后* @param n 棋盘大小* @param row 当前处理的行号（从0开始）* @param chessboard 当前棋盘状态*/private void backtrack(int n, int row, char[][] chessboard) {// 终止条件：所有行都已放置皇后（row == n）if (row == n) {// 将 char[][] 棋盘转换为 List<String> 格式，加入结果集result.add(convertChessboard(chessboard));return;}// 遍历当前行的每一列，尝试放置皇后for (int col = 0; col < n; col++) {// 校验当前位置 (row, col) 是否合法if (isValid(row, col, chessboard, n)) {// 放置皇后chessboard[row][col] = 'Q';// 递归处理下一行backtrack(n, row + 1, chessboard);// 回溯：撤销当前位置的皇后，尝试下一列chessboard[row][col] = '.';}}}/*** 校验 (row, col) 位置是否合法（无同列、同斜线皇后）* @param row 当前行号* @param col 当前列号* @param chessboard 棋盘状态* @param n 棋盘大小* @return 合法返回 true，否则 false*/private boolean isValid(int row, int col, char[][] chessboard, int n) {// 1. 检查当前列的上方是否有皇后（同列约束）for (int i = 0; i < row; i++) {if (chessboard[i][col] == 'Q') {return false;}}// 2. 检查左上斜线（行-1，列-1）是否有皇后（45°约束）for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;}}// 3. 检查右上斜线（行-1，列+1）是否有皇后（135°约束）for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;}}return true;}/*** 将 char[][] 格式的棋盘转换为 List<String> 格式* @param chessboard 原始棋盘* @return 转换后的字符串列表*/private List<String> convertChessboard(char[][] chessboard) {List<String> board = new ArrayList<>();for (char[] row : chessboard) {board.add(new String(row));}return board;}
}
代码解释
- 初始化棋盘：通过
char[][]存储棋盘（String 不可变，char 数组更易修改），初始所有位置为.。 - 回溯函数
backtrack：- 按行遍历，每行尝试所有列；
- 合法位置放置皇后后，递归处理下一行；
- 递归返回后回溯（恢复为
.），确保后续尝试不受影响。
- 合法性校验
isValid：- 仅需检查「上方」的列和斜线（下方未处理，无皇后），减少冗余计算；
- 斜线遍历通过「行-1、列±1」实现，边界条件（
i >=0、j >=0、j <n）避免数组越界。
- 棋盘转换
convertChessboard：将char[][]每行转换为 String，符合题目返回格式List<List<String>>。
复杂度分析
- 时间复杂度：
O(n! * n)。n! 是所有可能的列选择（每行1列，无同列），每个方案需O(n²)校验合法性（实际优化后为O(n)，仅检查上方），整体近似O(n! * n)。 - 空间复杂度：
O(n²)。递归栈深度为n（行号从0到n-1），棋盘存储为n²，结果集存储所有方案（最坏情况O(n! * n)，不计入算法本身空间）。