第7章树和二叉树：二叉树的定义和性质

7.2 二叉树的定义和性质

1. 二叉树的定义

二叉树（Binary tree）是 $n(n\ge 0)$ 个结点所构成的集合，它或为空树（$n=0$）；或为非空树，对于非空树 $T$：

• 有且仅有一个称之为根的结点；
• 除根结点之外的其余结点分为两个互不相交的子集 $T_1$ 和 $T_2$ ，分别称为 $T$ 的左子树和右子树，且 $T_1$ 和 $T_2$ 本身又都是二叉树。

二叉树的定义是递归的，并且根据定义不难看出，它有如下特点：

• 二叉树每个结点至多只有两棵子树，即二叉树中不存在度大于 2 的结点；
• 二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒，即二叉树是有序树。

根据上述定义，可知二叉树可以有如图 7.2.1 所示的 5 种基本形态。

图 7.2.1 二叉树的基本形态

二叉树的结构简单、存储效率高，相关运算的算法也相对简单，而且，任何 $m$ 次树都可以转化为二叉树结构，因此二叉树具有很重要的地位。

注意区分：二叉树 VS 度为 2 的树（2 次树）（讨论非空树）。

2. 满二叉树和完全二叉树

满二叉树和完全二叉树，是两种特殊形态的二叉树。

（1）满二叉树：在一颗二叉树中，如果所有具有分支的结点都有左孩子和右孩子，并且叶子结点都集中在二叉树的最下一层，这样的二叉树称为满二叉树（Full Binary Tree），如图 7.2.2 所示。

图 7.2.2 满二叉树

非空满二叉树的特点：

• 深度（高度）为 $h$ 且含有 $2^h-1$ 个结点。
• 每一层上的结点数都是最大结点数，即第 $i$ 层的结点数是 $2^{i-1}$ 。
• 叶子结点都在最下一层。
• 只有度为 0 和度为 2 的结点。

（2）完全二叉树（Complete Binary Tree）：若二叉树中最多只有最下两层的结点的度数可以小于 2，并且最下面一层的叶子结点都依次排列在该层最左边的位置上，则这样的二叉树称为完全二叉树，如图 7.2.3 所示。

图 7.2.3 完全二叉树

完全二叉树的特点：

• 叶子结点只可能在最下面两层中出现。
• 对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在该层最左边的位置上。
• 如果有度为 1 的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子。
• 当结点总数 $n$ 为奇数时，$n_1=0$ （度为 1 的结点数是 0 个）；当结点总数 $n$ 为偶数时，$n_1=1$ 。
• 对任意结点，若其右分支下的子孙的最大层次为 $l$ ，则其左分支下的子孙最大层次必为 $l$ 或 $l+1$ 。
• 满二叉树是完全二叉树的一种特例。

3. 二叉树的性质

【性质 1】非空二叉树上的叶子结点数（度为 0 的结点数，记作 $n_0$）等于双分支结点数（度为 2 的结点数，记作 $n_2$）数加 1：$n_0=n_2+1$。

证明：

设二叉树上的叶子结点数为 $n_0$ ，即度为 0 的结点数；度为 1 的结点（只有单分支的结点）数为 $n_1$ ；度为 2 的结点（有两个分支的结点）数为 $n_2$ 。则这棵二叉树总结点数 $n$ 为：
$$n=n_0+n_1+n_2$$
又因为：

• 每个度为 1 的结点，有一个分支，则 $n_1$ 个度为 1 的结点，有 $n_1$ 个分支，即所有度为 1 的结点的总的度数是 $n_1$ ；
• 每个度为 2 的结点，有两个分支，则 $n_2$ 个度为 2 的结点，有 $2n_2$ 个分支，即所有度为 2 的结点的总的度数是 $2n_2$ ；

故：所有结点的分支数，即所有结点的度之和=$n_1+2n_2$ 。

在二叉树中，除了根结点之外，每个结点都有唯一一个分支指向它，假设二叉树中的结点总数为 $n$ ，那么用 $n$ 表示的分支总数为 $n-1$ 。

所以：$n_1+2n_2=n-1$ 。将 $n=n_0+n_1+n_2$ 代入此式，最终得到：
$$n_0=n_2+1$$

二叉树问题中计算结点时常用的关系式：

• 所有结点的度之和 = $n-1$ = $n_1+2n_2$
• $n=n_0+n_1+n_2$

【性质 2】在非空二叉树的第 $i$ 层上至多有 $2^{i-1}$ 个结点（$i\ge 1$）。

证明：利用归纳法

当 $i=1$ 时，只有一个根结点。显然，$2^{i-1}=2^0=1$ ，命题成立。

假设在第 $i-1(i>2)$ 层命题成立，即至多有 $2^{i-2}$ 个结点。

由于二叉树每个结点的度最大值是 2，即每个节点最多有 2 个分支，每个分支对应一个结点。那么在第 $i$ 层上最大的结点数是第 $i-1$ 层上最大结点数的 2 倍，即：
$$2\times 2^{i-2}=2^{i-1}$$
故原命题成立。

【性质 3】深度（高度）为 $h$ 的二叉树至多有 $2^h-1$ 个结点（$k\ge 1$）。

证明：

根据二叉树的深度（高度）的定义可知，深度（高度）为 $h$ ，即二叉树共有 $h$ 层，即从根结点的第 1 层到叶子结点的第 $h$ 层。

根据性质 2 可知，每一层的结点最大数量是 $2^{i-1}$ ，于是二叉树总的结点数的最大值是：
$$\sum _{i=1}^h{2}^{i-1}$$
根据 $\sum _{i=0}^n{2}^i=2^{n+1}-1$ ，可得：
$$\sum _{i=1}^h{2}^{i-1}=2^h-1$$

【性质 4】（完全二叉树）具有 $n$ 个结点的完全二叉树的深度（高度）为 $\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$ 。

证明：

假设完全二叉树的深度（高度）为 $h$ ，结点总数为 $n$ ，由性质 3 可得：$n\le 2^h-1$ 。

对于高度为 $h$ 的完全二叉树，根据完全二叉树的定义可知，从根结点的第 1 层到第 $h-1$ 层，每层根结点都是“满的”（相当于高度为 $h-1$ 的满二叉树），每层结点数：

层序	结点数
1	$2^{1-1}$
2	$2^{2-1}$
3	$2^{3-1}$
$⋮$	$⋮$
$h-1$	$2^{h-2}$

所以，高度为 $h-1$ 的满二叉树的结点总数是：
$$2^0+2^1+\cdots +2^{h-1}=\sum _{i=1}^{h-1}{2}^{i-1}=2^{h-1}-1$$
根据完全二叉树定义可知，高度为 $h$ 的完全二叉树总结点数 $n$ 一定大于 $2^{h-1}-1$ 。故：
$$\begin{array}{rl}{2}^{h-1}-1<& n\le 2^h-1\\ 2^{h-1}\le & n<2^h\\ h-1\le & {\log }_{2}n<h\end{array}$$
所以：$h\le {\log }_{2}n+1$ ，且 $h>{\log }_{2}n$

又因为 $h$ 是正整数，所以：$h=\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$ ，即 $h={\log }_2(n+1)$ 或者 $h={\log }_{2}n+1$ 。

例 7.2.1 一棵完全二叉树上有 1001 个结点，其中叶子结点的个数是（ ）。

A. 250\qquad B. 500\qquad C. 254\qquad D. 501

【解】

假设完全二叉树中，度为 0 的结点（叶结点）个数为 $n_0$ ，度为 1 的结点个数为 $n_1$ ，度为 2 的结点个数为 $n_2$ ，根据题意可知：
$$n_0+n_1+n_2=1001\text{\hspace{1em}(1)}$$
又由二叉树的性质一：
$$n_0=n_2+1\text{\hspace{1em}(2)}$$
再根据完全二叉树的特点可知，$n_1$ 的值可能是：
$$n_1=\{\begin{array}{l}0,此时完全二叉树的结点总数是奇数\\ 1,此时完全二叉树的结点总数是偶数\end{array}$$
本题中完全二叉树的结点总数是 1001（奇数），所以 $n_1=0$ ，结合（1）（2）式，计算可得：$n_0=501$ 。

本题答案：D

例 7.2.3 一个具有 1025 个结点的二叉树的高 h 为（ ）。

A. 11\qquad B. 10\qquad C. 11至1025之间\qquad D．10至1024之间

【解】

• 当每层只有一个结点时，二叉树的高度最高，此时 $h=1025$ ；
• 当二叉树趋于满二叉树（即为完全二叉树）时，高度最小，此时 $h=\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1=\lfloor {\log }_{2}1025\rfloor +1=11$

所以 $h$ 介于 11 和 1025 之间。

本题答案：C

例 7.2.4 深度为 $h$ 的满 $m$ 叉树的第 $k$ 层有（ ）个结点。($1\le k\le h$)

A. $m^{k-1}$\qquad B. $m^k-1$\qquad C. $m^{h-1}$\qquad D. $m^h-1$

【解】

满 $m$ 叉树每个非叶子结点有 $m$ 个分支，则：

• 第 1 层是根结点，有 1 个结点；
• 第 2 层有 $m$ 个结点；
• 第 3 层有 $m^2$ 个结点；
• 第 4 层有 $m^3$ 个结点；
• $\cdots$
• 第 $k$ 层有 $m^{k-1}$ 个结点；
• $\cdots$
• 第 $h$ 层有 $m^{h-1}$ 个结点。

满 $m$ 叉树的结点总数是 $m^{k-1}$ 个。

本题答案：A