缩点学习笔记
第一次写算法，不知道有没有讲明白，干脆多写点吧。
前言
本篇题解写得很详细啰嗦，适合初学者，dalao 请跳过。
其实缩点并不能算算法，只是个小技巧。
思路
例题：P3387 【模板】缩点
我们通过一道题目引入缩点。
题意很好理解，怎么求呢？对于图上的算法，我们知道可以按照拓扑序进行 DP。怎么 DP 呢？这个很简单，设 dpidp_{i}dpi 为以点 iii 为终点的路径中权值和的最大值。只需要把所有指向点 iii 的点 jjj 的 dpjdp_{j}dpj 取 max 再加上 aia_{i}ai 就是 dpidp_{i}dpi。
有问题吗？当然有。原图中可能存在环，没有拓扑序。这时候就要用到缩点的小技巧：把每个极大强联通分量看作一个点，建立新图。在某些题（例如该题目）中，由于强联通分量点之间互相可达的性质，整个强联通分量是可以被看做一个点的。例如在该题目中，由于强联通分量中的点互相可达，那么只要到达强联通分量中的其中一个点，就一定可以到达强联通分量中的其它点。于是我们可以把每个极大强联通分量看作一个点，这样一来，形成的新图一定是有向无环图（DAG），也会存在拓扑序，DP 求解即可。为什么一定是有向无环图呢？反证：如果有环的话，那么环上的点一定可以构成强联通分量，与已知矛盾，证毕。
代码
例题：P3387 【模板】缩点的代码。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5,M=1e5+5;
int n,m,a[N],dfn[N],cntdfn;
int nxt[M],to[M],tp[N],cntbian;
stack<int> q;
int bj[N];
int low[N],cntq,sum[N];
vector<int> b[N];
//为了区分,原图用链式前向星存,新图用邻接表存
void dfs(int x)//求强联通分量缩点
{q.push(x);dfn[x]=++cntdfn;low[x]=dfn[x];for(int i=tp[x];i;i=nxt[i]){if(!dfn[to[i]]){dfs(to[i]);low[x]=min(low[x],low[to[i]]);}else if(!bj[to[i]]) low[x]=min(low[x],dfn[to[i]]);}if(low[x]==dfn[x]){cntq++;while(!q.empty()){int t=q.top();q.pop();bj[t]=cntq;sum[cntq]+=a[t];if(t==x) break;}}
}
int r[N],res[N];
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];while(m--){int u,v;cin>>u>>v;to[++cntbian]=v,nxt[cntbian]=tp[u],tp[u]=cntbian;}for(int i=1;i<=n;i++)//图可能不连通!if(!dfn[i]) dfs(i);for(int i=1;i<=n;i++)//缩点后建新图for(int j=tp[i];j;j=nxt[j])if(bj[i]!=bj[to[j]])b[bj[i]].push_back(bj[to[j]]),r[bj[to[j]]]++;queue<int> q;int ans=0;for(int i=1;i<=cntq;i++)if(!r[i]) q.push(i),res[i]=sum[i];while(!q.empty()){//按照拓扑序求解int t=q.front();q.pop();ans=max(ans,res[t]);for(int i=0;i<b[t].size();i++){r[b[t][i]]--;res[b[t][i]]=max(res[b[t][i]],res[t]+sum[b[t][i]]);if(!r[b[t][i]]) q.push(b[t][i]);}}cout<<ans;return 0;
}
总结
缩点就是依照强联通块的性质，将每一个强联通块都看作一个点，从而将原图转换为有向无环图（DAG），再进行求解。