国庆训练题题解10.5

1328C - Ternary XOR

https://codeforces.com/problemset/problem/1328/c

题意：

给定一个C，使$C=A\oplus B且C_i=(A_i+B_i)\%3$
满足$max(a,b)$尽可能小
找出这个A和B

解题思路：

AB每一个字符就只有三个数0，1， 2。
当x=0:
a:0 1 2
b:0 2 1
max(a,b)最小：0
x=1:
a:1 0
b:0 1
max(a,b)最小：1
x=2
a:1 2 0
b:1 0 2
max(a,b)最小 ：1
由于题目说第一个字符一定是2，我们要让max(a,b)尽可能小，说明ab的差距尽可能大，对于第一个字符不能取0，就同时取1
后面的需要判断ab谁跟大，确定一个数大后另一个就尽可能小。
这题就分为两种情况：
判断谁大之前：
尽可能ab相同
判断之后：
固定取数
我们可以在第一次遇到1的时候，固定ab的大小关系，比如让a变大，b变小。方便我们后序取数。
这里看起来好像没有用到异或关系
其实有一个公式：
$c_i=a_i\oplus b_i=(a_i+b_i)\%3$
这是三元运算（三进制），在二进制中同样适用（$mod2$）。

完整代码：

#include <iostream>
#include <string>using namespace std;void solve() {int n;cin >> n;string x;cin >> x;string a, b;bool flag = false;for (int i = 0; i < n; i++) {if (x[i] == '2') {if (flag) {a += '0';b += '2';} else {a += '1';b += '1';}} else if (x[i] == '1') {if (flag) {a += '0';b += '1';} else {a += '1';b += '0';flag = true;}} else {a += '0';b += '0';}}cout << a << "\n" << b << "\n";
}int main() {ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int t;cin >> t;while (t--) {solve();}return 0;
}

D. Buying Shovels

https://codeforces.com/problemset/problem/1360/D

题意：

n个物体，k种包装方式（可以包$i$个物体，$1<=i<=k$），包装大小是固定的，比如前面选择了装2个，每包就只能装2个。
求最少的包装数

解题思路：

我们一共要有n个物体，每个包里面装小于等于x个（x<=k，不一定要装满），一共有m个包
等价于：$n=m\ast x$
于是就分为两种情况：
k>=n：随便装，最坏就是装每包一个，结果就是$1$.
k<n：我们要最小化$m$，$m=n/x$，一定是整除（x就是n的因数）
我们就需要去找n的因数，就类似于找质数，如果$i$是因数，那么$n/i$也是因数，选择一个最小值即可。
每当找到一个因数，就看是否在k这个范围之内，同时也需要检查是否包的个数是否在k这个范围之内。

完整代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>using namespace std;typedef long long ll;const int N=1e5+10;void solve()
{int n,k;cin>>n>>k;if(n<=k){cout<<1<<endl;return ;}else {if(k==1){cout<<n<<endl;return ;}int res=n;for(int i=1;i*i<=n;i++){if(n%i==0){if(i<=k){res=min(res,n/i);}if(n/i<=k){res=min(res,i);}}}cout<<res<<endl;}
}int main ()
{ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);int t=1;cin>>t;while(t--)solve();return 0;
} 

A. Filling Diamonds

https://codeforces.com/problemset/problem/1339/A

题意：

用一个菱形去覆盖4n-2个三角形

解题思路：

水题，只要读懂放的这个菱形固定放的行，答案就是n。

C. K-th Not Divisible by n

https://codeforces.com/problemset/problem/1352/C

题意：

找到第K个不能被N整除的数

解题思路：

暴力法：
一个一个找，找到第k个就输出

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>using namespace std;typedef long long ll;const int N=1e9+7;bool st[N];
void solve()
{int n,k;cin>>n>>k;vector<int>a;int num=1;while(a.size()<k){if(num%n!=0)a.push_back(num);num++;}// for(auto i:a)//     cout<<i<<" ";// cout<<endl;auto it=a.end()-1;cout<<*it<<endl;
}int main ()
{ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);int t=1;cin>>t;while(t--)solve();return 0;
} 

数学公式：
我们可以发现，N个数可以按照n来分组，在n前面的都是不能被整除的，刚好第n个可以整除，比如，n=3；
第一组：1 2 3
第二组：4 5 6
第三组：7 8 9
每一组前面两位都是不能被整除的，只有第三位才能。
在结合上k，公式：

$ans=k+(k-1)/(n-1)$

推导：
前 k 个不能被 n 整除的数，分布在若干完整的组中，可能还有部分组。
每组提供 n-1 个有效数，所以：
完整组数 = (k - 1) / (n - 1) （向下取整）
每个完整组我们要跳过 1 个 n 的倍数
所以总共要跳过的 n 的倍数数量 = (k - 1) / (n - 1)
第 k 个不能被 n 整除的数在自然数序列中的位置是：
结果=k+跳过的倍数数量
为什么是K-1?
因为我们需要求第k个数，所以我们需要求出前k-1个数，再计算第k个数
数学证明：
设第 k 个不能被 n 整除的数为 x。
在 1 到 x 之间：
有 k 个不能被 n 整除的数
有 floor(x/n) 个能被 n 整除的数
总数关系：k + floor(x/n) = x
所以 x - floor(x/n) = k
因为 floor(x/n) = (x - (x mod n)) / n ≈ x/n
解近似：x - x/n = k ⇒ x(1 - 1/n) = k ⇒ x = k * n / (n-1)
更精确解考虑取整后就是：x = k + floor((k-1)/(n-1))

void solve()
{int n,k;cin>>n>>k;cout<<k+(k-1)/(n-1)<<endl;
}