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『C++成长记』一颗会搜索的二叉树

news 2025/10/5 6:53:04

🔥博客主页：小王又困了

📚系列专栏：C++

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一、二叉搜索树的概念

二、二叉搜索树的操作

📒2.1二叉搜索树的查找

📒2.2二叉搜索树的插入

📒2.3 二叉搜索树的删除

三、二叉搜索树的实现

📒3.1 BSTNode（结点类）

📒3.2 BSTree（二叉搜索树类）

🗒️3.2.1框架

🗒️3.2.2 插入

🗒️3.2.3 查找

🗒️3.2.4 中序遍历

🗒️3.2.5删除

🗒️3.2.6析构

🗒️3.2.7拷贝构造

四、二叉搜索树的应用

📒4.1K模型

📒4.2KV模型

五、二叉搜索树的性能分析

一、二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树

二、二叉搜索树的操作

📒2.1二叉搜索树的查找

从根开始比较，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

小Tips：这里最多查找高度次的时间复杂度并不是O(logN)，这是在理想的情况下，即这颗二叉树是一颗满二叉树或者完全二叉树。在极端情况下，这棵二叉树只有一条路径，此时最多查找高度次的时间复杂度就是O(N)。

📒2.2二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

树为空：直接新增节点，赋值给 root 指针
树不空：按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点。

📒2.3 二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回，否则要删除的结点可能分下面四种情况:

要删除的结点没有孩子结点。
要删除的结点只有左孩子结点。
要删除的结点只有右孩子结点。
要删除的结点有左、右孩子节点。

看起来待删除节点有4中情况，实际情况 a 可以与情况 b 或者 c 合并起来，我们可以分为有 0或1个孩子和有2个孩子这两种情况。因此真正的删除过程如下：

情况一（要删除的结点只有左孩子）：删除该结点，让被删除节点的双亲结点指向被删除节点的左孩子结点--直接删除
情况二（要删除的结点只有又孩子）：删除该结点，让被删除节点的双亲结点指向被删除结点的右孩子结点--直接删除
情况三（要删除的结点有两个孩子）：在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题--替换法删除

三、二叉搜索树的实现

二插搜索树只是一种结构，它本质上是由一个个结点链接而成，因此我们首先需要定义一个结点类，这个结点用来存储数据。有了结点类之后就需要定义一个二叉搜索树的类，这个类主要是用来维护结构的，实现增删查改等功能。

📒3.1 BSTNode（结点类）

template<class K>
struct BSTNode
{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key): _key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};

📒3.2 BSTree（二叉搜索树类）

🗒️3.2.1框架

template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;
public:BinarySearckTree():_root(nullptr){}
private:Node* _root;
}；

🗒️3.2.2 插入

bool Insert(const K& key)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;//相等就说明树中已经有了，就应该插入失败}}cur = new Node(key);//判断一下插在左还是右if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;
}

小Tips：我们要单独考虑根节点为空的情况。用 cur 找到该结点应该要插入的位置，用 parent 指向该位置的双亲结点，以实现链接关系。最后还需要判断插入到双亲结点的左侧还是右侧。我们实现的这个二叉搜索树相同的值只能插入一次，因此当插入一个值 key 的时候，如果检测到树中已经有一个结点存的是 key，那么就应该返回 false，表明插入失败。

🗒️3.2.3 查找

bool Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;
}

🗒️3.2.4 中序遍历

public：void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}

小Tips：这里的中序遍历是用递归的方式来实现的，但是递归函数是要传递参数的，所以我们要把根节点 _root 传给这个函数，但是根节点 _root 是私有的成员变量，用户是访问不到的，因此我们不能直接提供中序遍历函数给用户。正确的做法是，虽然用户访问不到根结点，但是类里面可以访问，所以我们在类里面实现一个中序遍历的子函数 _InOrder，在这个子函数中实现中序遍历的逻辑，然后我们再去给用户提供一个中序遍历的函数接口 InOrder，由它去调用 _InOrder。这样以来用户就可以正常去使用中序遍历啦。

🗒️3.2.5删除

bool Erase(const K& key)
{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//找到要删除的节点while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{// 删除// 0-1个孩子的情况if (cur->_left == nullptr)//如果cur只有右孩子{if (parent == nullptr)//删除根结点{_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}		delete cur;return true;}else if (cur->_right == nullptr)//如果cur只有左孩子{if (parent == nullptr)//删除根结点{_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}else{// 2个孩子的情况// 右子树的最小节点作为替代节点Node* rightMinP = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;
}

小Tips：删除节点有两个孩子时，我们要先找到右子树的最小节点 rightMin ，同时也要记录 rightMinP ，从 cur 的右子树向左一直找即可。找到后交换 cur 和 rightMin 的值，这时我们就将问题转换为删除 rightMin 节点。

🗒️3.2.6析构

private：	void Destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}
public：~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}

小Tips：这里析构使用后序遍历，先去释放左孩子和右孩子的空间资源，最后释放根节点。

🗒️3.2.7拷贝构造

private：Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}
public：BSTree(const BSTree<K>& t){_root = Copy(t._root);}

四、二叉搜索树的应用

📒4.1K模型

K模型即只有一个 Key 作为关键码，结构中只需要存储 Key 即可，关键码即为需要搜索到的值。比如：给一个单词 word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：

以词库中所有单词集合中的每个单词作为 Key，构建一颗二叉搜索树。
在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。

上面这颗二叉搜索树就是 Key 模型，因为这颗树的结点里面只能存储一个值，这个值就是 Key。

📒4.2KV模型

KV 模型即每一个关键码 Key，都有与之对应的的值 Value，即 <Key，Value> 的键值对。这种方式在现实生活中十分常见：

比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文 <word，Chinese> 就构成一种键值对。
再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可以快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是 <word，count> 就构成一种键值对。

namespace keyValue
{template<class K, class V>struct BSTNode{// pair<K, V> _kv;K _key;V _value;BSTNode<K, V>* _left;BSTNode<K, V>* _right;BSTNode(const K& key, const V& value):_key(key), _value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class K, class V>class BSTree{typedef BSTNode<K, V> Node;public:BSTree() = default;BSTree(const BSTree<K, V>& t){_root = Copy(t._root);}~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key, value);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{// 删除// 0-1个孩子的情况if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}else{// 2个孩子的情况// 右子树的最小节点作为替代节点Node* rightMinP = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}void Destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}private:Node* _root = nullptr;};
}