柯西显威：一道最值题的降维打击

题目（2025年协作体夏令营）：已知存在 $x\in [3,4]$，使得 $a{x}^2+(2b+1)x-a-2=0$（$a,b\in \mathbb{R}$），则 $a^2+b^2$ 的最小值为________．
答案：$\frac{1}{100}$

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📜 问题描述

给定一个含参二次方程 $a{x}^2+(2b+1)x-a-2=0$，其中 $a,b$ 为实数，且存在某个 $x$ 在区间 $[3,4]$ 内满足方程．目标是求 $a^2+b^2$ 的最小值．

💡 破题点

💡 看到"存在 $x\in [3,4]$ 使方程成立"时，意识到方程可视为关于 $a,b$ 的线性约束条件！
原方程可改写为：
$$(x^2-1)a+2xb=x-2$$
这相当于一个关于 $a,b$ 的二元一次方程．而目标式 $a^2+b^2$ 像极了"距离的平方"，联想到了柯西不等式的平方和形式．

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💡 破题思路：当方程遇见柯西

关键观察：
方程 $(x^2-1)a+2xb=x-2$ 可视为向量 $(a,b)$ 与向量 $(x^2-1,2x)$ 的点积等于 $x-2$．
柯西不等式登场：
$$\begin{array}{rl}& (a^2+b^2)\left[(x^2-1{)}^2+(2x{)}^2\right]\\ \ge & {\left[(x^2-1)a+2xb\right]}^2=(x-2{)}^2\end{array}$$
于是得到：
$$a^2+b^2\ge \frac{(x-2{)}^2}{(x^2-1{)}^2+4x^2}$$

为什么可行？
柯西不等式将目标式 $a^2+b^2$ 与一个仅含 $x$ 的分式关联起来．而 $x$ 在 $[3,4]$ 内取值，只需找到该分式在此区间的最小值，即可锁定 $a^2+b^2$ 的最小值！

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🔍 关键推导：变量替换与函数分析

步骤1：化简分母

$$\begin{array}{rl}& (x^2-1{)}^2+(2x{)}^2\\ =& x^4+2x^2+1\\ =& (x^2+1{)}^2\end{array}$$
不等式简化为：
$$a^2+b^2\ge \frac{(x-2{)}^2}{(x^2+1{)}^2}$$

步骤2：换元简化

令 $t=x-2$，则 $t\in [1,2]$．代入得：
$$\frac{(x-2{)}^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{t^2}{(t^2+4t+5{)}^2}$$

步骤3：分离分子分母

💡 妙招：分子分母同除以 $t^2$：
$$\frac{t^2}{(t^2+4t+5{)}^2}=\frac{1}{{\left(t+\frac{5}{t}+4\right)}^2}$$

步骤4：对勾函数求范围

令 $u=t+\frac{5}{t}$，$t\in [1,2]$：

• $t=1$ 时 $u=6$
• $t=2$ 时 $u=\frac{9}{2}$
  故 $u\in \left[\frac{9}{2},6\right]$．

步骤5：代入还原

$$\frac{1}{(u+4{)}^2}\text{在}u\in \left[\frac{9}{2},6\right]$$

• $u_{\min }=\frac{9}{2}$ 时，$\frac{4}{289}$
• $u_{\max }=6$ 时，$\frac{1}{100}$

步骤6：确定最小值

⚠️ 注意：当 $u=6$（即 $t=1,x=3$）时：
$$a^2+b^2\ge \frac{1}{100}$$
验证取等：
$$\frac{a}{8}=\frac{b}{6}⟹a=-\frac{2}{25},b=-\frac{3}{50}$$
满足原方程且 $a^2+b^2=\frac{1}{100}$．

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🧠 总结：三步破解"存在性"条件下的最值问题

1. 条件转化：将方程视为参数约束，构造柯西不等式（几何模型）．
2. 变量归一：换元后利用基本不等式求最值．
3. 验证取等：检查区间内存在性．