【C++】深入理解红黑树：概念、性质和实现
一、红黑树的概念
红黑树是一种二叉搜索树，但它在每个节点上增加了一个存储位来表示节点的颜色，颜色只能是红色（Red）或黑色（Black）。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍(最长路径不超过最短路径的2倍），因而近似于平衡的二叉搜索树。
二、红黑树的性质
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的（任何路径没有连续的红色节点）
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点（每条路径上黑色节点的数量相等）
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点，即
NIL节点)基于以上性质，红黑树能够保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍。
三、红黑树的实现
（一）红黑树节点的定义
首先定义红黑树节点的结构，包含左右子节点指针、父节点指针、数据以及颜色信息：
enum Color {RED,BLACK };template<class K, class V> struct RBTreeNode {RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Color _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED){} };
（二）红黑树的插入
红黑树的插入是在二叉搜索树插入的基础上，通过一系列调整（变色、旋转）来维持红黑树的性质。下面结合图示和原理，详细拆解插入过程。
1、插入的前置知识
红黑树的新节点默认颜色为红色。这是因为：若新节点为黑色，会直接破坏 “每条路径黑色节点数相同” 的性质，需要大量调整；而红色节点若父节点为黑色，不会破坏任何性质，只有父节点也为红色时，才需要调整（避免连续红节点）。
2、插入的核心逻辑
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件 ，因此插入分为两步：
a. 按二叉搜索树规则插入新节点：找到合适位置，插入红色新节点。
b. 调整红黑树性质：若插入后出现 “连续红节点”（父节点也为红色），则根据叔叔节点（
uncle）的颜色，分情况调整。3、分情况调整（关键看uncle的颜色）
我们先来看看可能的插入情况：
因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何 性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
约定：
cur为新插入节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点（p的兄弟节点）。
- 情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
调整方法：
a. 变色：
p和u变为黑色，g变为红色b. 继续向上检查：将
g视为新的cur，重复调整逻辑（因为g变红后，若其父亲也为红色，会再次出现连续红节点）。
- 情况二：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
- 情况三：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
4、最终收尾：根节点必须为黑色
无论上述哪种调整，最后都要检查根节点：若根节点因调整变为红色，需将其改回黑色（保证 “根节点为黑色” 的性质）。
5、插入操作的完整代码
bool Insert(const pair<K, V>& kv) {if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED;if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;// u存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){// 变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续向上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // u不存在 或 存在且为黑{if (cur == parent->_left){// g// p// cRotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{// g// p// cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else // parent == grandfather->_right{Node* uncle = grandfather->_left;// u存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){// 变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续向上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{if (cur == parent->_right){// g// p// cRotateL(grandfather);grandfather->_col = RED;parent->_col = BLACK;}else{// g// p// cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true; }6、总结
红黑树插入的核心是根据 uncle 的颜色分情况调整：
uncle为红：通过变色 + 向上递归解决。uncle为黑或不存在：通过旋转 + 变色解决，旋转的目的是调整节点结构，让连续红节点的问题更易解决。所有调整的最终目的，都是为了维持红黑树的 5 条性质，确保树的近似平衡，从而保证插入、查询、删除的时间复杂度为 O(log n)。
四、红黑树的验证
写完插入操作后，我们怎么知道该树就已经是红黑树了呢？
红黑树的检测分为两步：
检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
检测其是否满足红黑树的性质
public:bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;} private:bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr){return true;}if (root->_col != BLACK){return false;}//黑色节点数量的基准值int benchmark = 0;Node* cur = root;while (cur){if (cur->_col == BLACK){++benchmark;}cur = cur->_left;}return CheckColor(root, 0, benchmark);}bool CheckColor(Node* root, int blacknum, int benchmark){if (root == nullptr){if (blacknum != benchmark){return false;}return true;}if (root->_col == BLACK){++blacknum;}if (root->_col == RED && root->_parent && root->_parent->_col == RED){cout << root->_kv.first << "出现连续红色节点" << endl;}return CheckColor(root->_left, blacknum, benchmark)&& CheckColor(root->_right, blacknum, benchmark);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);}