分段函数的傅里叶变换及其应用

题目

问题5. 求下列函数的傅里叶变换（设 $$a>0$$）：

(a) $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& |x|\le a,\\ 0& |x|>a;\end{array}$$

(b) $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& |x|\le a,\\ 0& |x|>a;\end{array}$$

© $$f(x)=\{\begin{array}{ll}|x|& |x|\le a,\\ 0& |x|>a;\end{array}$$

(d) $$f(x)=\{\begin{array}{ll}a-|x|& |x|\le a,\\ 0& |x|>a;\end{array}$$

(e) $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{a}^2-x^2& |x|\le a,\\ 0& |x|>a;\end{array}$$

(f) 使用 (a) 的结果计算 $${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (x)}{x}dx$$.

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解决方案：

傅里叶变换的定义为：
$$\hat{f}(k)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ikx}dx$$

(a) $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& |x|\le a\\ 0& |x|>a\end{array}$$

$$\hat{f}(k)={\int }_{-a}^a{e}^{-ikx}dx={\left[\frac{e^{-ikx}}{-ik}\right]}_{-a}^a=\frac{e^{-ika}-e^{ika}}{-ik}=\frac{2\sin (ka)}{k}$$
所以，
$$\boxed{\hat{f}(k)=\frac{2\sin (ka)}{k}}$$

(b) $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& |x|\le a\\ 0& |x|>a\end{array}$$

$$\hat{f}(k)={\int }_{-a}^{a}x{e}^{-ikx}dx$$
使用积分公式：
$$\int x{e}^{-ikx}dx=-\frac{e^{-ikx}(ikx+1)}{k^2}+C$$
代入上下限：
$$\hat{f}(k)={\left[-\frac{e^{-ikx}(ikx+1)}{k^2}\right]}_{-a}^a=\frac{2i}{k^2}\left[\sin (ka)-ka\cos (ka)\right]$$
所以，
$$\boxed{\hat{f}(k)=\frac{2i}{k^2}\left[\sin (ka)-ka\cos (ka)\right]}$$

© $$f(x)=\{\begin{array}{ll}|x|& |x|\le a\\ 0& |x|>a\end{array}$$

由于 $$f(x)$$ 是偶函数，
$$\hat{f}(k)=2{\int }_0^{a}x\cos (kx)dx$$
计算积分：
$${\int }_0^{a}x\cos (kx)dx={\left[\frac{x\sin (kx)}{k}+\frac{\cos (kx)}{k^2}\right]}_0^a=\frac{a\sin (ka)}{k}+\frac{\cos (ka)}{k^2}-\frac{1}{k^2}$$
所以，
$$\hat{f}(k)=2\left[\frac{a\sin (ka)}{k}+\frac{\cos (ka)}{k^2}-\frac{1}{k^2}\right]=\frac{2a\sin (ka)}{k}+\frac{2\cos (ka)}{k^2}-\frac{2}{k^2}$$
即，
$$\boxed{\hat{f}(k)=\frac{2}{k^2}\left[\cos (ka)-1\right]+\frac{2a\sin (ka)}{k}}$$

(d) $$f(x)=\{\begin{array}{ll}a-|x|& |x|\le a\\ 0& |x|>a\end{array}$$

由于 $$f(x)$$ 是偶函数，
$$\hat{f}(k)=2{\int }_0^a(a-x)\cos (kx)dx$$
计算积分：
$${\int }_0^a(a-x)\cos (kx)dx=\frac{1-\cos (ka)}{k^2}$$
所以，
$$\hat{f}(k)=2\cdot \frac{1-\cos (ka)}{k^2}=\frac{2(1-\cos (ka))}{k^2}$$
所以，
$$\boxed{\hat{f}(k)=\frac{2(1-\cos (ka))}{k^2}}$$

(e) $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{a}^2-x^2& |x|\le a\\ 0& |x|>a\end{array}$$

由于 $$f(x)$$ 是偶函数，
$$\hat{f}(k)=2{\int }_0^a(a^2-x^2)\cos (kx)dx$$
计算积分：
$${\int }_0^a(a^2-x^2)\cos (kx)dx=\frac{2}{k^3}\left[\sin (ka)-ka\cos (ka)\right]$$
所以，
$$\hat{f}(k)=2\cdot \frac{2}{k^3}\left[\sin (ka)-ka\cos (ka)\right]=\frac{4}{k^3}\left[\sin (ka)-ka\cos (ka)\right]$$
所以，
$$\boxed{\hat{f}(k)=\frac{4}{k^3}\left[\sin (ka)-ka\cos (ka)\right]}$$

(f) 使用 (a) 计算 $${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (x)}{x}dx$$

从 (a) 知，当 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& |x|\le a\\ 0& |x|>a\end{array}$$ 时，$$\hat{f}(k)=\frac{2\sin (ka)}{k}$$.
利用傅里叶逆变换在 $$x=0$$ 处的值：
$$f(0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(k)e^{ik\cdot 0}dk=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{2\sin (ka)}{k}dk$$
由于 $$f(0)=1$$，有：
$$1=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{2\sin (ka)}{k}dk$$
即：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (ka)}{k}dk=\pi$$
令 $$u=ka$$，则 $$dk=du/a$$，代入得：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (u)}{u}du=\pi$$
所以，
$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (x)}{x}dx=\pi }$$