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文章：《Stepdown SLOPE for Controlled Feature Selection》

如何保证错选率可控地特征选择？？？？

研究背景

现有SLOPE方法主要关注FDR（错误发现率）控制，但在实际应用中需更严格地控制k-FWER（k个或更多错误拒绝的概率）和FDP（错误发现比例）。传统方法依赖p值计算或复杂假设，难以适应高维数据场景。本文结合步降（stepdown）程序与SLOPE框架，提出新型控制方法。

核心技术

k-SLOPE：通过非递增正则化序列${\lambda }_{k\text{-FWER}}(i)$，基于Lehmann-Romano步降阈值设计，控制k-FWER。
F-SLOPE：采用${\lambda }_{\text{FDP}}(i)$参数序列，结合$\lfloor \gamma i\rfloor +1$调整，实现FDP控制。
理论保证：在正交设计下证明k-FWER和FDP控制；广义高斯设计下通过方差修正调整参数序列。

核心贡献

首次将步降程序融入SLOPE框架，扩展其统计控制能力至k-FWER和FDP。
提出参数序列设计准则，正交设计下直接映射步降阈值，广义设计下引入方差修正项。
实验验证，正交/相关/高斯设计场景下，k-SLOPE和F-SLOPE在控制指标（FDR/k-FWER/FDP）与检测功效（Power）上均优于传统步降方法。

解决问题

1）突破SLOPE仅限FDR控制的局限，解决高维特征选择中更严格的错误控制需求。
2）避免传统方法对p值或独立假设的依赖，提供基于正则化的高效解决方案。
3）为生物信息学、基因组学等领域提供兼具理论保证与计算可行性的新工具。

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全文章节精简翻译

摘要
提出k-SLOPE与F-SLOPE，通过将步降程序注入SLOPE框架，分别实现k-FWER和FDP控制。正交设计下理论证明控制有效性，广义设计下提供参数调整准则。实验验证方法优于传统步降法与原始SLOPE。

引言
高维特征选择需平衡稀疏性与错误控制。现有SLOPE仅关注FDR，而k-FWER/FDP在医疗诊断等场景更关键。本文结合步降程序的阈值设计，扩展SLOPE的统计控制能力。

相关工作

1）SLOPE方法：通过排序${\ell }_1$惩罚实现FDR控制，但缺乏对其他指标的支持。
2）统计指标：FDR为FDP期望，k-FWER是FDP的尾部概率控制，三者存在数学关联但需独立设计方法。

预备知识

SLOPE模型：目标函数为$\frac{1}{2}\Vert y-X\beta {\Vert }^2+\sum {\lambda }_i|\beta {|}_{(i)}$，参数序列按BH阈值设计。
步降程序：通过动态调整拒绝阈值，逐步筛选假设以满足k-FWER或FDP约束。

方法论（不同数据假设下的两种设置）

正交设计：k-SLOPE参数${\lambda }_{k\text{-FWER}}(i)={\Phi }^{-1}(1-k\alpha /2(m+k-i))$，F-SLOPE参数含$\lfloor \gamma i\rfloor +1$项。
广义设计：引入协方差矩阵修正项$w(|S|)=\frac{1}{n-|S|-1}$，递归调整参数序列以补偿相关性影响。
\end{itemize}

实验验证

正交实验：当$t=500$时，F-SLOPE的$\text{Prob(FDP}>\gamma )=0$，FDR=0.005，Power=0.997，全面优于原始SLOPE。
相关实验：在实验室效应模型中，k-SLOPE的k-FWER控制误差低于0.01，功率达0.95，显著优于传统步降法。
高斯设计：弱信号($\beta =\sqrt{2\log m}$)下，F-SLOPE仍保持FDR<0.1，验证广义参数设计的鲁棒性。

结论

本文首次将k-FWER与FDP控制融入SLOPE框架，理论证明与实验表明其在多种设计场景下的有效性，为高维数据特征选择提供更灵活的错误控制工具。