Booth算法
这个算法是计算机中用于计算有符号二进制数（补码）乘法的一种高效算法。它由Andrew Donald Booth于1950年提出。
第一部分：为什么需要Booth算法？—— 动机
在讲解补码时我们提到，有符号数的乘法可以通过“先取绝对值计算，再修正符号”的方式实现。但这需要额外的步骤和电路来判断符号和转换补码。
Booth算法的伟大之处在于：它可以直接对两个用补码表示的有符号数进行乘法运算，而无需进行任何预处理（如判断正负、取绝对值等），并且对于连续的0或1，它能减少加法操作的次数，从而提高运算速度。
它的核心思想是：通过检测二进制位的变化，将连续的乘法操作转换为更少的加法和减法操作。
第二部分：算法核心思想
1. 关键观察
考虑一个二进制乘法，例如 0011110（十进制30）。用传统乘法方式（移位相加）： X * 0011110 = X * (2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1) = (X << 4) + (X << 3) + (X << 2) + (X << 1) 这需要4次加法操作。
但我们可以换一种角度看这个乘数 0011110： 0011110 = 0100000 - 0000010 （即 32 - 2 = 30） 那么，X * 0011110 = X * (2^5 - 2^1) = (X << 5) - (X << 1) 这只需要2次操作（一次减法和一次加法）！效率大大提升。
Booth算法正是基于这种“用减法代替一连串加法”的智慧。
2. 编码规则
Booth算法通过检查乘数中相邻两位的变化来决定对部分积（Partial Product）进行何种操作。它会在乘数的最低有效位（LSB）右边添加一个辅助位 Q_{-1}，初始值为0。
我们检查乘数当前的两位：Q_0（当前最低位）和 Q_{-1}（右边的辅助位）。
Q_0 (当前位) | Q_{-1} (前一位) | 操作说明 | 执行的操作 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 遇到了一串连续的0 | 仅算术右移 |
| 0 | 1 | 遇到了一串连续的1的结束（从1变为了0） | 加上被乘数，然后右移 |
| 1 | 0 | 遇到了一串连续的0的结束（从0变为了1） | 减去被乘数，然后右移 |
| 1 | 1 | 遇到了一串连续的1 | 仅算术右移 |
记忆技巧：
“01” -> 串结束（加）
“10” -> 串开始（减）
“00” 和 “11” -> 串中间（光移位）
算术右移（Arithmetic Right Shift）：对于有符号数（补码），右移时最高位（符号位）保持不变，而不是简单地补0。例如，1010 ( -6 ) 算术右移一位后是 1101 ( -3 )。
第三部分：Booth算法详细步骤与示例
我们现在用一个完整的例子来演示算法流程：计算 (-3) × 5。
被乘数
M = -3（4位补码：1101）乘数
Q = 5（4位补码：0101）预期结果：
(-3) × 5 = -15（8位补码：11110001）
我们使用一个4位的系统，但需要双倍长度的寄存器来存放结果。因此，我们使用三个寄存器：
A：4位，初始为0，用于存放部分积的高位。
Q：4位，初始为乘数。
Q_{-1}：1位，初始为0。
整个操作需要循环4次（等于乘数的位数）。
| 循环计数 | 步骤 | A | Q | Q_{-1} | 操作判断 (Q_0, Q_{-1}) | 执行的操作 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 初始 | 初始化 | 0000 | 0101 | 0 | ||
| 1 | 判断 | 0000 | 0101 | 0 | (1, 0) -> “10” | A = A - M |
| 执行减法 | 0011 | 0101 | 0 | (M=-3=1101, -M=3=0011, A=0000+0011=0011) | ||
| 算术右移 (A, Q, Q_{-1}) | 0001 | 1010 | 1 | (A和Q作为一个整体右移，A的符号位不变) | ||
| 2 | 判断 | 0001 | 1010 | 1 | (0, 1) -> “01” | A = A + M |
| 执行加法 | 1110 | 1010 | 1 | (A=0001, M=1101, A+M=1110) | ||
| 算术右移 (A, Q, Q_{-1}) | 1111 | 0101 | 0 | |||
| 3 | 判断 | 1111 | 0101 | 0 | (1, 0) -> “10” | A = A - M |
| 执行减法 | 0010 | 0101 | 0 | (A=1111, -M=0011, A+(-M)=0010) | ||
| 算术右移 (A, Q, Q_{-1}) | 0001 | 0010 | 1 | |||
| 4 | 判断 | 0001 | 0010 | 1 | (0, 1) -> “01” | A = A + M |
| 执行加法 | 1110 | 0010 | 1 | (A=0001, M=1101, A+M=1110) | ||
| 算术右移 (A, Q, Q_{-1}) | 1111 | 0001 | 0 | |||
| 结束 | 1111 | 0001 |
最终结果：将A和Q寄存器连接起来，A Q = 1111 0001。 这正好是 -15 的8位补码表示 (11110001 = -128 + 64 + 32 + 16 + 1 = -15)。计算正确！
第四部分：Booth算法的变种与优势
1. 位对编码（Radix-4 Booth编码）
基本的Booth算法每次检查1位，需要n次循环（n为位数）。位对编码每次检查3位（当前位对和右边一位），将循环次数减少到大约 n/2 次，速度更快。
它检查三位组合 (Q_1, Q_0, Q_{-1})，操作包括：
000： 移位2位（相当于乘以0）001,010： +X， 移位2位011： +2X，移位2位（相当于X左移一位）100： -2X，移位2位101,110： -X， 移位2位111： 移位2位（相当于乘以0）
2. 优势总结
统一处理有符号数：直接对补码进行操作，无需额外的符号处理电路，简化了硬件设计。
速度可能更快：当乘数中包含连续的0或1时，Booth算法可以跳过这些位，减少加法/减法操作的次数。平均而言，它比传统的“移位-相加”算法更快。
易于硬件实现：算法流程规整（判断->加/减->移位），非常适合用硬件流水线实现。
3. 注意事项
最坏情况：如果乘数是交替的
0101...01模式，Booth算法每次循环都需要进行加/减操作，性能与传统方法相同。位宽扩展：为了保证结果正确，寄存器A和Q的位宽需要是原始操作数的两倍。
总结
Booth算法是一个巧妙而强大的算法，它深刻理解了二进制补码的特性。其核心在于：
动机：高效地直接计算补码乘法。
核心：通过检测乘数中 “01” 和 “10” 的跳变，将连续的加法转换为一次减法或加法。
流程：判断 -> 执行（加/减/无操作） -> 算术右移，循环n次。
结果：最终结果存放在连接在一起的A和Q寄存器中。