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问题描述

在旋转后的有序数组中搜索目标值。假设数组原本按升序排列，但在某个未知下标处进行了旋转（例如 [0,1,2,4,5,6,7] 旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2]）。要求时间复杂度为 O(log n)。

示例：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0  
输出：4  
解释：目标值 0 位于旋转后的右半部分。

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解决思路

旋转后的数组可视为两个有序子数组的组合。利用 二分查找 的关键在于判断哪一部分是有序的，并检查目标值是否在该范围内。核心步骤如下：

1. 判断有序区间：通过比较 nums[left] 和 nums[mid]，确定左半或右半是否有序。
2. 缩小搜索范围：根据目标值是否在有序区间内，调整左右指针。

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代码实现

class Solution {public int search(int[] nums, int target) {int left = 0, right = nums.length - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] == target) return mid; // 直接命中// 判断左半部分是否有序if (nums[left] <= nums[mid]) { // 目标值在左半有序区间内if (target >= nums[left] && target < nums[mid]) {right = mid - 1;} else {left = mid + 1;}} else { // 右半部分有序// 目标值在右半有序区间内if (target > nums[mid] && target <= nums[right]) {left = mid + 1;} else {right = mid - 1;}}}return -1;}
}

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关键点解析

1. 为什么用 nums[left] <= nums[mid]？

• 判断有序区间：
  若 nums[left] <= nums[mid]，说明左半部分 [left, mid] 是有序的（未包含旋转点）。否则右半部分有序。
• 边界处理：
  当 left == mid 时（例如数组长度为 1），nums[left] == nums[mid]，等号确保这种情况被正确归类为“左半有序”。

2. 示例分析

案例 1：数组 [3, 1]，目标值 1

• left = 0, mid = 0，满足 nums[left] <= nums[mid]（3 ≤ 3）。
• 目标值不在左半部分（1 < 3 不成立），调整 left = mid + 1，最终找到目标值。

案例 2：数组 [5]，目标值 5

• 若去掉等号，条件 nums[left] < nums[mid] 不成立，程序误判右半有序。
• 检查右半部分时，target > nums[mid] 不成立，错误调整 right = mid - 1，导致返回 -1。

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边界条件处理

1. 单元素数组

当 nums.length == 1 时，left == mid == right，必须通过等号确保逻辑正确。

2. 完全有序数组

若数组未旋转（例如 [1,2,3,4,5]），逻辑仍能正确判断左半有序。

3. 严格递增与重复值

题目假设元素唯一，无需处理重复值。若存在重复值需调整条件（如 nums[left] < nums[mid]）。

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常见疑问

Q：为什么不能使用 nums[left] < nums[mid]？

• 边界问题：当 left == mid 时，条件不成立，导致误判右半有序。
• 错误示例：
  数组 [5]，目标值 5。若用 <，程序错误调整 right = mid - 1，最终返回 -1。

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总结

1. 核心逻辑：通过 nums[left] <= nums[mid] 判断有序区间，结合目标值范围调整指针。
2. 边界条件：等号处理 left == mid 的临界情况，确保单元素区间被正确识别。
3. 时间复杂度：O(log n)，每次循环将搜索范围减半。

关键启示：二分查找的难点不仅在于算法框架，更在于对边界条件的精准处理。理解每一行代码背后的意图，才能避免“差之毫厘，谬以千里”。