力扣hot100 | 多维动态规划 | 62. 不同路径、64. 最小路径和、5. 最长回文子串、1143. 最长公共子序列、72. 编辑距离

62. 不同路径

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

• 【思路】

# from functools import cache
from functools import lru_cache as cache # 3.9以下的版本class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:@cachedef dfs(i, j): # 表示从(0,0)走到(i,j)的路径数if i < 0 or j < 0:  # 无法从(0,0)走到这些位置return 0if i == 0 and j == 0: # dfs(0, 0) 原地不动是一种办法return 1return dfs(i-1, j) + dfs(i, j-1)return dfs(m-1, n-1)

• 时间复杂度 O(mn)
• 空间复杂度 O(mn)

64. 最小路径和

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给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

参考自灵茶山艾府

# from functools import cache
from functools import lru_cache as cache # 3.9以下的版本class Solution:def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:@cache def dfs(i: int, j: int) -> int:if i < 0 or j < 0:return infif i == 0 and j == 0:return grid[i][j]return min(dfs(i, j - 1), dfs(i - 1, j)) + grid[i][j]return dfs(len(grid) - 1, len(grid[0]) - 1)

• 时间复杂度 O(mn)，其中 m 和 n 分别为 grid 的行数和列数。由于每个状态只会计算一次，动态规划的时间复杂度 = 状态个数 × 单个状态的计算时间。本题状态个数等于 O(mn)，单个状态的计算时间为 O(1)，所以总的时间复杂度为 O(mn)。
• 空间复杂度 O(mn)，保存多少状态，就需要多少空间。

5. 最长回文子串

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给你一个字符串 s，找到 s 中最长的 回文 子串。

示例 1：
输入：s = “babad”
输出：“bab”
解释：“aba” 同样是符合题意的答案。

示例 2：
输入：s = “cbbd”
输出：“bb”

中心扩散法

参考自灵茶山艾府

写法一：奇偶分开判断

class Solution:def longestPalindrome(self, s: str) -> str:n = len(s)ans_left = ans_right = 0# 奇回文串for i in range(n):l = r = iwhile l >= 0 and r < n and s[l] == s[r]:l -= 1r += 1# 循环结束后，s[l+1] 到 s[r-1] 是回文串if r - l - 1 > ans_right - ans_left:ans_left, ans_right = l + 1, r  # 左闭右开区间# 偶回文串for i in range(n - 1):l, r = i, i + 1while l >= 0 and r < n and s[l] == s[r]:l -= 1r += 1if r - l - 1 > ans_right - ans_left:ans_left, ans_right = l + 1, r  # 左闭右开区间return s[ans_left: ans_right]

• 时间复杂度 O(n^2)
• 空间复杂度 O(1)

1143. 最长公共子序列

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给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。如果不存在公共子序列 ，返回0。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：
输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “ace” ，它的长度为 3 。

示例 2：
输入：text1 = “abc”, text2 = “abc”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “abc” ，它的长度为 3 。

示例 3：
输入：text1 = “abc”, text2 = “def”
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

参考自灵茶山艾府

# from functools import cache
from functools import lru_cache as cache # 3.9以下的版本class Solution:def longestCommonSubsequence(self, s: str, t: str) -> int:n, m = len(s), len(t)@cache def dfs(i: int, j: int) -> int: # s[:i+1]与t[:j+1]的最长公共子序列长度if i < 0 or j < 0:return 0if s[i] == t[j]:return dfs(i - 1, j - 1) + 1return max(dfs(i - 1, j), dfs(i, j - 1))return dfs(n - 1, m - 1)

• 时间复杂度 O(nm)
• 空间复杂度 O(nm)

72. 编辑距离

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给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

示例 1：
输入：word1 = “horse”, word2 = “ros”
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 ‘h’ 替换为 ‘r’)
rorse -> rose (删除 ‘r’)
rose -> ros (删除 ‘e’)

示例 2：
输入：word1 = “intention”, word2 = “execution”
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 ‘t’)
inention -> enention (将 ‘i’ 替换为 ‘e’)
enention -> exention (将 ‘n’ 替换为 ‘x’)
exention -> exection (将 ‘n’ 替换为 ‘c’)
exection -> execution (插入 ‘u’)

参考自灵茶山艾府

# from functools import cache
from functools import lru_cache as cache # 3.9以下的版本class Solution:def minDistance(self, s: str, t: str) -> int:n, m = len(s), len(t)@cache def dfs(i: int, j: int) -> int: # 将word1[:i+1]转成word2[:j+1]的最少操作数if i < 0:return j + 1if j < 0:return i + 1if s[i] == t[j]:return dfs(i - 1, j - 1)return min(dfs(i - 1, j), dfs(i, j - 1), dfs(i - 1, j - 1)) + 1return dfs(n - 1, m - 1)

• 时间复杂度 O(mn)，其中 n 为 s 的长度，m 为 t 的长度。
• 空间复杂度 O(mn)